午後のひとときに、数学の問題を自作したので紹介します。
問題
nは1以上5以下の自然数、kは2以上の自然数として、
各nにおいて、
| x2 ＝ | k Σ m＝1 | mn |
を満たす自然数xが存在するならば最小のxを、
存在しないのであればそれを示せ。
シンキングタ～イム
自作しておきながら、こんな風に解けるかなというのは考えているが、どうなるかやってみる。
まず、各nについて総和の厳密値を書いてみる。
| x2 ＝ | k Σ m＝1 | m1 | ＝ | k(k＋1) 2 |
| x2 ＝ | k Σ m＝1 | m2 | ＝ | k(k＋1)(2k＋1) 6 |
| x2 ＝ | k Σ m＝1 | m3 | ＝ | k2(k＋1)2 4 |
| x2 ＝ | k Σ m＝1 | m4 | ＝ | k(k＋1)(2k＋1)(3k2＋3k－1) 30 |
| x2 ＝ | k Σ m＝1 | m5 | ＝ | k2(k＋1)2(2k2＋2k－1) 12 |
これらを踏まえて、分母分子に着目する。
n＝1のとき、
kとk＋1は連続する自然数なので、どちらか一方は偶数であり、必ず分母の2で割り切れる。
仮にkが2で割り切れて、商が平方数で、k＋1も平方数のものを考えると、
k＝8で成り立つ。
仮にk＋1が2で割り切れて、商が平方数で、kも平方数のものを考えると、
k＝8までに見つからない。
よって、k＝8のとき、x＝6で最小。
n＝2のとき、
kとk＋1は連続する自然数で、2k＋1は奇数。
分母の6は偶数なので、2k＋1は平方数である必要がある。
k＝4のとき、2k＋1＝9となり、4×(4＋1)が6の倍数でないので不適。
k＝12のとき、2k＋1＝25となり、12×(12＋1)÷6＝26と平方数でないので不適。
k＝24のとき、2k＋1＝49となり、24×(24＋1)÷6＝100と平方数。
よって、k＝24のとき、x＝70で最小。
n＝3のとき、
分子のk2、(k＋1)2ともに平方数である。
また、k、k＋1は連続する自然数なので、どちらか一方が偶数で、もう一方は奇数。
偶数の2乗は偶数、奇数の2乗は奇数なので、分母の4は偶数の2乗で割り切れ、
商が平方数である必要がある。
k＝2のとき、22(2＋1)2÷4＝4・9/4＝9で平方数。
よって、k＝2のとき、x＝3で最小。
とりあえず、ここまでやってみる。
ここで、それぞれの厳密値の式の違いに着目すると、
n＝1とn＝2の式の違いは、
k(k＋1) 2 | ・ | 2k＋1 3 | ＝ | k(k＋1)(2k＋1) 6 |
のように、(2k＋1)/3という条件が追加されたと捉えられ、
n＝1の解は、
| k＝ | (3－2√2)m＋(3＋2√2)m－2 4 |
mが自然数ということで、kは無限に存在することを示せます。
しかし、n＝2の解は、n＝1よりも条件が厳しくなり、
自明なk＝1と、非自明なk＝24のとき、x＝70を見つけることは出来るが、これら以外に非自明な解があるのかは、現時点でkの一般項が示せていないので不明。
n＝2とn＝4の式の違いは、
k(k＋1)(2k＋1) 6 | ・ | 3k2＋3k－1 5 | ＝ | k(k＋1)(2k＋1)(3k2＋3k－1) 30 |
のように、(3k2＋3k－1)/5という条件が追加されたと捉えられ、
n＝2の時点で、非自明な解が1個しか見つけられていないので、更に条件が追加され厳しくなっていることで、n＝3の解は、自明なk＝1しか見つけられない。
n＝3とn＝5の違いは、
k2(k＋1)2 4 | ・ | 2k2＋2k－1 3 | ＝ | k2(k＋1)2(2k2＋2k－1) 12 |
のように、(2k2＋2k－1)/3という条件が追加されたと捉えられ、
n＝3は、すべての自然数kにおいて成り立つので、解は無限に存在する。
よって、n＝5になって条件が一つ増えたところで、
自明なk＝1と、非自明なk＝13のとき、x＝1001が見つかる。
こちらは、非自明な解がもっと見つかっているが、一般項が解れば追記する予定。
証明は全然出来ていないが、n＝4以外のときには非自明な解が1個以上見つかり、n＝4のときには非自明な解が見つけられないというところである。
証明は難しそうですので、私の作問した未解決問題ということですかね。
ではでは