午後のひとときに、数学の問題を解いてみよう。
問題
| P＝ | 2184＋1 17 | の桁数を求めよ。 |
0.301＜log10(2)＜0.302
シンキングタ～イム
ヒントが出てますよね。
log10(2)のレンジが与えられているのだから、そういう形にしろってことですよね。
まず、
2184＋1ですが、(24)37＋1ですよね。
指数が37と奇数なので、因数分解出来ます。
t＝24
とおいて、
t37＋1＝(t＋1)(t36－t35＋t34－t33＋t32－t31＋…＋t2－t＋1)
＝(t＋1){(t36－t35)＋(t34－t33)＋(t32－t31)＋…＋(t2－t)＋1}
方や、分母の17をtを使って表せば、t＋1なので、約分されて、
P＝(t36－t35)＋(t34－t33)＋(t32－t31)＋…＋(t2－t)＋1
となります。
一番大きな値は一番左の項です。
t36－t35＝(24)36－(24)35＝2144－2140＝2140(24－1)
10進数の桁数を求めるので、log10を取ります。
140log10(2)＋log10(24－1)
0.301＜log10(2)＜0.302より、
140・0.301＜140・log10(2)＜140・0.302
42.14＜140・log10(2)＜42.28 …(1)
log10(24－1)＝log10(16－1)＝log10(15)
log10(10)＜log10(15)＜log10(16)
1＜log10(15)＜4log10(2)
4・0.301＜4log10(2)＜4・0.302
1.204＜4log10(2)＜1.208
1＜log10(15)＜4log10(2)＜1.208 …(2)
42.14＋1＜140log10(2)＋log10(24－1)＜140log10(2)＋4log10(2)＜42.28＋1.208
43.14＜140log10(2)＋log10(24－1)＜43.488
と、初項は43桁。
同様に次の項を求めると、
2136(24－1)
136log10(2)＋log10(24－1)
136・0.301＜136・log10(2)＜136・0.302
40.936＜136・log10(2)＜41.072
40.936＋1＜136・log10(2)＋log10(24－1)＜136・log10(2)＋4log10(2)＜41.072＋1.208
41.936＜136・log10(2)＋log10(24－1)＜42.28
と大きくても42桁となったが、加えたとしても先の項を1桁増やすものではない。
よって、Pは43桁
ではでは