前前回からの続きかな。
面になる凧形の話しで、各頂点が真球に内接する案を選択しました。
計算方法を思いついたので、書いていきます。
まず、(0,0,0)を中心とする半径1の真球をイメージする。
これが外接する真球。
中心からz軸に±pだけ、移動した2点を考え、それぞれの点を通るxy平面と真球が交わる真円に内接する正五角形を上段と下段で180度ずれたものを考える。
－p側の正五角形の頂点と真球の北極点(0,0,1)とを結んだ直線に、＋p側の正五角形の1辺の中心が通るpを求める。
±p移動した点を通るxy平面と真球とで出来る真円の半径をrとすると、
r＝√12－p2
この半径rの円に内接する正五角形の1辺への垂線の長さは、
r・cos(36˚)
側面から見て、これらを比で表すと、
1－p：r・cos(36˚)＝1＋p：r
(1＋p)・r・cos(36˚)＝r・(1－p)
r・cos(36˚) r | ＝ | 1－p 1＋p |
| cos(36˚)＝ | 1－p 1＋p | ＝ | 1＋√5 4 |
4・(1－p)＝(1＋√5)(1＋p)
4－4p＝1＋p＋√5＋p√5
p（5＋√5)＝3－√5
| p＝ | 3－√5 5＋√5 | ＝ | (3－√5)(5－√5) 25－5 | ＝ | 20－8√5 20 | ＝ | 5－2√5 5 |
pが求まりました。
ここから、凧形の鈍角と鋭角を結ぶ対角線xと直行する対角線yを求める。
| x＝√(1＋p)2＋r2＝√(1＋p)2＋12－p2＝√2＋2p＝ | 2√5－√5 √5 |
| y＝2・r・cos(90˚－36˚)＝2√12－p2・cos(54˚)＝ | √20・√3√5－5 5 |
| x：y＝ | 2√5－√5 √5 | ： | √20・√3√5－5 5 | ＝√5－√5：√3√5－5 |
対角線yで二分される対角線xは、
鈍角側：鋭角側＝2p：1－p
なので、これらの情報から、鈍角、鋭角が求まります。
鈍角≒128.1727˚
鋭角≒51.8273˚
※arctanを含む計算なので、厳密解が欲しい方は各自上記値から求められるかと思います。
前日の出目と合わせて、展開図は、
こんな感じになりました。
このようなパターンで、偶数面サイコロは作れますね。
正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体はあるので、
例えば、十四面体サイコロを作れば、曜日用のサイコロとかも作れますね。
また、真球に内接するという条件を利用すれば、
正十二面体の面は正五角形なので、10等分して百二十面体
正二十面体の面は正三角形なので、6等分して百二十面体
といったことも出来ますね。
まぁ、やらんけどｗ。
ではでは
PS：
今日の午前中、セリアを3件ほど見て回りましたが、TRPGダイスは売ってませんでした。