午後のひとときに、図形問題を解いてみる。
問題
長方形ABCDは4つの長方形と、それらに囲まれた正方形からなり、
それぞれの面積は上手の通りです。
それぞれの長方形の辺の長さを求めよ。
シンキングタ～イム
まず、初見で解ることは、面積1の正方形の辺の長さは1である。
あとは、4つの長方形のうちのどれでもいいから、辺の長さをxとでもおいて、ドミノ倒しのように立式して行けばよい。
どれでもいいと言われが、私としては面積12の長方形を選ぶでしょう。
なぜかというと、他の長方形の面積で一番小さいし、他に比べて約数が多いからです。
まぁ、これが功を奏するかと言われると、なんとも言えません。
面積12の幅を x とおくと、高さは 12/x と表せる。
面積14の幅は、面積12の幅より1短いことより x－1 と表わせ、
高さは 14/(x－1) と表せる。
面積17の高さは、面積12の高さより1長いことより 12/x＋1＝(12＋x)/x と表わせ、
幅は 17x/(12＋x) と表せる。
面積15の幅は、面積17の幅より1長いことより 17x/(12＋x)＋1＝(18x＋12)/(12＋x)
高さは、面積14の高さより1短いことより 14/(x－1)－1＝(15－x)/(x－1)
よって、
(18x＋12)/(12＋x)×(15－x)/(x－1)＝15
(18x＋12)(－x＋15)＝15(x＋12)(x－1)
－18x2＋258x＋180＝15x2＋165x－180
33x2－93x－360＝0
11x2－31x－120＝0
(x－5)(11x＋24)＝0
x＞0 より
x＝5
これより、
答え
面積1の正方形の幅は1、高さは1
面積12の長方形の幅は5、高さは12/5
面積14の長方形の幅は4。高さは7/2
面積17の長方形の幅は5、高さは17/5
面積15の長方形の幅は6、高さは5/2
長方形ABCDの幅は10、高さは59/10
ではでは