午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
2015Cmが偶数となる最小のmを求めよ。
シンキングタ～イム
まずは、C（コンビネーション・組み合わせ）の定義から、
| 2015Cm＝ | 2015! m!(2015-m)! |
となります。
コンビネーションは必ず正の整数になるので、分母が1になるまで約分出来ます。
つまり、分母は分子の約数ということです。
mが小さい方から、試してみると、
| 2015C1＝ | 2015! 1!・2014! | ＝ | 2015・2014! 1!・2014! | ＝ | 2015 1 | ＝2015 |
| 2015C2＝ | 2015! 2!・2013! | ＝ | 2015・2014・2013! 2!・2013! | ＝ | 2015・2014 1・2 | ＝2029105 |
| 2015C3＝ | 2015! 3!・2012! | ＝ | 2015・2014・2013・2012! 3!・2013! | ＝ | 2015・2014・2013 1・2・3 | ＝1361529455 |
…
といったように計算出来る。
分子は降順、分母は昇順にしておくことが味噌です。
ここで、分数としての最後の式を更に積の形にすると、
| 2015C1＝ | 2015 1 | ＝2015 |
| 2015C2＝ | 2015 1 | ・ | 2014 2 | ＝2029105 |
| 2015C3＝ | 2015 1 | ・ | 2014 2 | ・ | 2013 3 | ＝1361529455 |
…
| 2015Cm＝ | 2015 1 | ・ | 2014 2 | ・ | 2013 3 | ・…・ | 2015－m＋1 m |
のように表せます。
分母分子の偶奇が揃っていることより、
分母分子が奇数のとき、その項は割り切れないか、割り切れたとしても奇数。
分母分子が偶数のとき、2では割り切れるが、その後割り切れないか、割り切れたとしても偶奇は不明。
となります。
つまり、最小のmは偶数でかつその項は割り切れて偶数で、それまでの項の積は奇数ということが解ります。
| 2015Cm＝奇数・ | 2015－m＋1 m | ＝奇数・ | ⎛ ⎝ | 2015＋1 m | － | m m | ⎞ ⎠ | ＝奇数・ | ⎛ ⎝ | 2016 m | －1 | ⎞ ⎠ |
2016を素因数分解すると、
| 2015Cm＝奇数・ | ⎛ ⎝ | 25・32・7 m | －1 | ⎞ ⎠ |
m＝25＝32
答え 32
ちなみに、2015C1から2015C32までは、
2015C1＝2015
2015C2＝2029105
2015C3＝1361529455
2015C4＝684849315865
2015C5＝275446394840903
2015C6＝92274542271702505
2015C7＝26482793631978618935
2015C8＝6647181201626633352685
2015C9＝1482321407962739237648755
2015C10＝297353674437325491072340253
2015C11＝54199465204257964509094746115
2015C12＝9051310689111080073018822601205
2015C13＝1394598100791499491250515513093355
2015C14＝199427528413184427248823718372349765
2015C15＝26603632290318802594993084030871458651
2015C16＝3325454036289850324374135503858932331375
2015C17＝391034271679024164613170404247882690024625
2015C18＝43404804156371682272061914871514978592733375
2015C19＝4562073363172328920910928631495548013141502625
2015C20＝455294921644598426306910677423255691711521961975
2015C21＝43253017556236850499156514355209290712594586387625
2015C22＝3920296227597103631605367710194878440041527511678375
2015C23＝339702190504392501643021645496451857869685405685869625
2015C24＝28195281811864577636370796576205504203183888671927178875
2015C25＝2245472243496894962960570239329006354741564893832280525605
2015C26＝171864990944570037549674414471720101766758236104855317152075
2015C27＝12660720999583326099492681866083380830151190059724341696869525
2015C28＝898911190970416153063980412491920038940734494240428260477736275
2015C29＝61590915050283341246142382055911900599146187588128653571353861325
2015C30＝4077318576328757190494625692101367819663477618334116866423625619715
2015C31＝261079915290728484617155870929716616839742034593329741285512801778525
2015C32＝16186954748025166046263663997642430244064006144786443959701793710268550
ですので、まともに挑んでは駄目ですね。
ただ、一の位の値が圧倒的に5が多く、3と1はあっても7や9が無いので、何か他にも解法がありそうな気がします。
ではでは