午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
√15＋√35＋√21＋5 √3＋2√5＋√7 |
式を簡単にせよ。
シンキングタ～イム
まずは、分子の√の中の合成数を積の形にしてみる。
√15＋√35＋√21＋5 √3＋2√5＋√7 | ＝ | √3×5＋√5×7＋√3×7＋5 √3＋2√5＋√7 |
分子の5も√の形にしてみる。
| ＝ | √3×5＋√5×7＋√3×7＋√5×5 √3＋2√5＋√7 |
分子の順番を入れ替えて、共通の因数でくくってみる。
| ＝ | √3×5＋√3×7＋√5×7＋√5×5 √3＋2√5＋√7 |
| ＝ | √3(√5＋√7)＋√5(√7＋√5) √3＋2√5＋√7 |
| ＝ | (√3＋√5)(√5＋√7) √3＋2√5＋√7 |
続いて、分母を変形する。
| ＝ | (√3＋√5)(√5＋√7) √3＋√5＋√5＋√7 |
ここで、
a＝√3＋√5
b＝√5＋√7
とおくと、
| ＝ | ab a＋b |
これをxとおいて、逆数を取ると、
1 x | ＝ | a＋b ab | ＝ | a ab | ＋ | b ab | ＝ | 1 b | ＋ | 1 a |
a、bを戻して、
1 x | ＝ | 1 √5＋√7 | ＋ | 1 √3＋√5 |
分母の有理化をして、
1 x | ＝ | √7－√5 2 | ＋ | √5－√3 2 | ＝ | √7－√5＋√5－√3 2 | ＝ | √7－√3 2 |
x＝に戻して、
| x＝ | 2 √7－√3 | ＝ | 2(√7＋√3) 4 | ＝ | √3＋√7 2 |
答え
√3＋√7 2 |
ではでは