午後のひとときに、図形問題を解いてみる。
問題
三角形ABCの∠Aを三等分したところ、
BP：PQ：QC＝2：1：3となった。
∠Aを求めよ。
シンキングタ～イム
AB＝w, AP＝x, AQ＝y, AC＝z とおくと、
角の二等分線の定理より、
三角形ABQに着目すると、
w：y＝BP：PQ＝2：1
w＝2y
三角形APCに着目すると、
x：z＝PQ：QC＝1：3
z＝3x
となり、
∠A＝3θとおいて、
二辺夾角から面積を求めるとして、
三角形ABCの面積＝三角形ABPの面積＋三角形APQの面積＋三角形AQCの面積
2y・3x・sin(3θ)/2＝2y・x・sin(θ)/2＋x・y・sin(θ)/2＋y・3x・sin(θ)/2
6xy・sin(3θ)/2＝(2xy＋xy＋3xy)sin(θ)/2
sin(3θ)＝sin(θ)
3sin(θ)－4sin3(θ)＝sin(θ)
2sin(θ)－4sin3(θ)＝0
sin(θ)(1－2sin2(θ))＝0
θの取り得る範囲は、∠A＝3θより、
0＜3θ＜180˚
0＜θ＜60˚
よって、
1－2sin2(θ)＝0
sin2(θ)＝1/2
sin(θ)＝1/√2
θ＝45˚
∠A＝3θ＝135˚
答え 135˚
他にも別解はあるでしょうから、いろいろと考えてみるのもよいかと思います。
ではでは