午後のひとときに、図形問題を解いてみる。
問題
長方形ABCDがあり、
点Bから∠CBEが80˚となるように点Eを取り、
AE＝a、ED＝bとした。
線分BE上の点FをBF＝2aとなるように取り、
FDを直線で結んだところFD＝2a＋bであった。
∠CDF＝θを求めよ。
シンキングタ～イム
長さがa、bと変数となっているので、代数的に解くのだろうか。
まぁ、代数的にも解けるだろうし、幾何的にも解けるのだろう。
今回問題は80˚という角度が示されているが、三角関数としては80˚は計算するのが面倒です。
ということで、小中学生レベルの図形の基礎的な性質だけで解けるのではと考えました。
長さとしては、a、b、2a、2a＋bというものがあるので、
上辺にaを加えて2a＋bをもう一つ作ってみる。
線分DAをA側にaだけ伸ばした点をGとし、AG、GBと直線で結ぶ。
三角形BEGは、Bを頂角20˚、底角80˚の二等辺三角形である。
Gを頂角20˚、GEを斜辺とする二等辺三角形GEHを描く。
∠BGHは、80˚－20˚＝60˚なので、GHを1辺とする正三角形GHIを描く。
∠BHIは、180˚－80˚－60˚＝40˚なので、
点Iを頂角180－40－40＝100˚、
IHを斜辺とする二等辺三角形IHJを描く。
∠BIJは、180˚－60˚－100˚＝20˚なので、
三角形JIBはJを頂角とし底角20˚の二等辺三角形。
EG＝GH＝HI＝IJ＝JB＝2a
点H、点Jは線分EB上の点より、
点Jと点Fは同一点である。
以後、点Jは点Fとする。
FGを直線で結ぶと、
三角形DFGは、斜辺の長さが2a＋bで等しいので、
Dを頂角とする二等辺三角形。
三角形IFGに着目すると、
IG＝IFより、Iを頂角160˚とする二等辺三角形より、
底角は(180－160)÷2＝10˚
∠DGF＝80－10＝70˚、
∠FDG＝180－70－70＝40˚
∠FDG＝90－40＝50˚
答え
θ＝50˚
この解法を見たことがある人は、ラングレーの問題を解いたことがあるかと思います。
他にも、EF＝IB⇒bなど、aやbを使って表せる線分があるので、いろいろな別解も考えられるだろう。
ではでは