午後のひとときに、面白い分数を紹介します。
フィボナッチ数列をご存知でしょうか。
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
と前の2つを足した数の数列です。
最初の2項を0, 1から始めるパターンと、1, 1から始めるパターンとありますが、基準が0か1かの違いだけです。
さて、これらが登場する分数なのですが、
分子が1の単位分数で、
1/89 = 0. 0 1 1 2 3 5 9
1/9899 = 0. 00 01 01 02 03 05 08 13 21 34 55 90
1/998999 = 0. 000 001 001 002 003 005 008 013 021 034 055 089 144 233 377 610 988
1/99989999 = 0. 0000 0001 0001 0002 0003 0005 0008 0013 0021 0034 0055 0089 0144 0233 0377 0610 0987 1597 2584 4181 6766
1/9999899999 = 0. 00000 00001 00001 00002 00003 00005 00008 00013 00021 00034 00055 00089 00144 00233 00377 00610 00987 01597 02584 04181 06765 10946 17711 28657 46368 75026
…
のように、実際は空白がなくてつながっていますが、解りやすいように空白を入れてみました。
分母の89の両サイドに9を同じ桁数増やすと、小数点以下を分母の桁数の半分で区切っていくと、フィボナッチ数列が現れますが、赤文字以降はフィボナッチ数列として正しくありません。
さて、この左辺の一般式を考えてみると、
1/(102n-10n-1) = x
のようになります。
両辺を10n倍するという操作を繰り返して、その都度整数部を消して行けば、フィボナッチ数列を取り出せるということでしょうが、赤文字が出て来たらそこからは不正解ということです。
ちなみに、右辺のフィボナッチ数列が100項を超えるには、
1/99999999999999999999989999999999999999999999 = 0.
0000000000000000000000
0000000000000000000001
0000000000000000000001
0000000000000000000002
0000000000000000000003
0000000000000000000005
0000000000000000000008
0000000000000000000013
0000000000000000000021
0000000000000000000034
0000000000000000000055
0000000000000000000089
0000000000000000000144
0000000000000000000233
0000000000000000000377
0000000000000000000610
0000000000000000000987
0000000000000000001597
0000000000000000002584
0000000000000000004181
0000000000000000006765
0000000000000000010946
0000000000000000017711
0000000000000000028657
0000000000000000046368
0000000000000000075025
0000000000000000121393
0000000000000000196418
0000000000000000317811
0000000000000000514229
0000000000000000832040
0000000000000001346269
0000000000000002178309
0000000000000003524578
0000000000000005702887
0000000000000009227465
0000000000000014930352
0000000000000024157817
0000000000000039088169
0000000000000063245986
0000000000000102334155
0000000000000165580141
0000000000000267914296
0000000000000433494437
0000000000000701408733
0000000000001134903170
0000000000001836311903
0000000000002971215073
0000000000004807526976
0000000000007778742049
0000000000012586269025
0000000000020365011074
0000000000032951280099
0000000000053316291173
0000000000086267571272
0000000000139583862445
0000000000225851433717
0000000000365435296162
0000000000591286729879
0000000000956722026041
0000000001548008755920
0000000002504730781961
0000000004052739537881
0000000006557470319842
0000000010610209857723
0000000017167680177565
0000000027777890035288
0000000044945570212853
0000000072723460248141
0000000117669030460994
0000000190392490709135
0000000308061521170129
0000000498454011879264
0000000806515533049393
0000001304969544928657
0000002111485077978050
0000003416454622906707
0000005527939700884757
0000008944394323791464
0000014472334024676221
0000023416728348467685
0000037889062373143906
0000061305790721611591
0000099194853094755497
0000160500643816367088
0000259695496911122585
0000420196140727489673
0000679891637638612258
0001100087778366101931
0001779979416004714189
0002880067194370816120
0004660046610375530309
0007540113804746346429
0012200160415121876738
0019740274219868223167
0031940434634990099905
0051680708854858323072
0083621143489848422977
0135301852344706746049
0218922995834555169026
0354224848179261915075
0573147844013817084101
0927372692193078999176
1500520536206896083277
2427893228399975082453
3928413764606871165730
面白いのですが、普通にフィボナッチ数列として求めるほうが断然に楽ですね。
まぁ、それを言っちゃぁお終いよってことで。
ちなみに、これらの計算は普通の電卓では無理なので、多倍長電卓を使用しております。
ではでは