午後のひとときに、現在悩んでいる数学の問題の続きです。
問題
698544713－446985443＝698544716985447169854471－446985444469854444698544
このような関係式を手計算で求める方法を考えよ。
シンキングタ～イム
前回はプログラミングして、サンプルを見つけることが出来ました
61 55
71 44
89 20
5984 5561
6155 5384
6985 4471
7144 4285
8791 2089
8920 1891
9899 200
62336 53009
77419 35485
89189 18920
840736 265105
842105 263159
998999 2000
5830315 5716504
6687619 4808296
7384544 3995471
8139536 3023255
8236504 2890315
8918920 1891891
9451145 1019591
59828455 55615984
59845561 55598455
61538461 53846155
61555384 53828461
69838544 44716985
69854471 44698544
71428571 42857144
71444285 42838571
87899120 20898791
87912089 20879120
89189189 18918920
89201891 18899189
98979901 2009899
98990200 1989901
99989999 20000
さて、手計算で求める方法、やっと解ってきました。
【パターン1】
2桁の解と4桁の解を見比べると、
(61, 55)と(6155, 5384)や(5984, 5561)に何かしらの関係がありそうですよね。
61×100＋55＝6155
55×99－61＝5384
61×99－55＝5984
55×100＋61＝5561
同様に、(71, 44)と(7144, 4285)や(6985, 4471)では、
71×100＋44＝7144
44×99－71＝4285
71×99－44＝6985
44×100＋71＝4471
同様に、(89, 20)と(8920, 1891)や(8791, 2089)では、
89×100＋20＝8920
20×99－89＝1891
89×99－20＝8791
20×100＋89＝2089
つまり、
x[n]×100＋y[n]＝x[n＋1]
y[n]×99－x[n]＝y[n＋1]
と
x[n]×99－y[n]＝x[n＋1]
y[n]×100＋x[n]＝y[n＋1]
というように、(x[n], y[n])から桁を倍にした新たな2解(x1[n＋1], y1[n＋1]), (x2[n＋1], y2[n＋1])を漸化的に作れるということです。
【パターン2】
また、(89, 20), (9899, 200), (998999, 2000), (99989999, 20000), …においては、
89×100＋20×50－1＝9899
9899×100＋200×50－1＝998999
998999×100＋2000×50－1＝99989999
99989999×100＋20000×50－1＝9999899999
…
x[n]×100＋y[n]×50－1＝x[n＋1]
20×10＝200
200×10＝2000
2000×10＝20000
20000×10＝200000
…
y[n]×10＝y[n＋1]
というように、(x[n], y[n])から2桁増やした新たな解(x[n＋1], y[n＋1])を漸化的に作れるということです。
これらが手作業で解を求めることが出来るという問題の意図だったわけですね。
最初の2桁の3解を初期値として、新たに生成された解
前者の4桁の6解、8桁の12解、…
後者の4桁の1解、6桁の1解、8桁の1解、…
を取り除いていくと、
5桁の3解、6桁の2解、7桁の7解、…
と残っている。
5桁の3解は、2桁の3解と同じ個数なので、2桁の3解から、
(61, 55) → (62336, 53009)
(71, 44) → (77419, 35485)
(89, 20) → (89189, 18920)
7桁の7解は、4桁の7解と同じ個数なので、4桁の7解から、
(5984, 5561) → (5830315, 5716504)
(6155, 5384) → (6687619, 4808296)
(6985, 4471) → (7384544, 3995471)
(7144, 4285) → (8139536, 3023255)
(8791, 2089) → (8236504, 2890315)
(8920, 1891) → (8918920, 1891891)
(9899, 200) → (9451145, 1019591)
かどうかは解らないが、それぞれ生成する方法があるのではなかろうか。
残った6桁の2解
(840736, 265105)
(842105, 263159)
これらもどこからか生成出来るのだろうか。
などと、妄想かもしれないが考えることが出来る。
(89, 20) → (89189, 18920)
を考えてみる。
例えば、
89×1001＋20×5＝89189
20×501＋89×100＝18920
のような式を作ることが出来なくもないが、まだまだ謎である。
なにか新しい法則を見つけたら、コメントお待ちしております。
ではでは