午後のひとときに、現在悩んでいる数学の問題を紹介する。
問題
698544713－446985443＝698544716985447169854471－446985444469854444698544
このような式を他にも見つけよ。
シンキングタ～イム
自分で答えが出ていない問題です。
確実に解っていることは、
x3－x3＝(x－y)(x2＋xy＋y2)
という因数分解が出来るので、
x、yをn桁の自然数とすると、
m＝10n
として、
x3－ｙ3＝(x－y)(m2＋m＋1)＝(x－y)(102n＋10n＋1)
というような因数分解が出来、
x2＋xy＋y2＝102n＋10n＋1
を満たすx、yを求めるということなのだろう。
この手の問題は簡単な方から考えたいので、とりあえず解っていることだけでプログラミングして探させてみると、
n＝1のとき、解なし
n＝2のとき、
613－553＝616161－515151＝60606
713－443＝717171－444444＝272727
893－203＝898989－202020＝696969
n＝3のとき、解なし
n＝4のとき、
59843－55613＝598459845984－556155615561
61553－53843＝625561556155－538453845384
69853－44713＝698569856985－447144714471
71443－42853＝714471447144－428542854285
87913－20893＝879187918791－208920892089
89203－18913＝892089208920－189118911891
n＝5のとき、
623363－530093＝623366233662336－530095300953009
774193－354853＝774197741977419－354853548535485
891893－189203＝891898918989189－189201892018920
といったように、プログラミングが出来る人であれば、解を見つけることが出来るだろう。
ただ、手計算で解を見つける方法が知りたいということなので、
はて、どうしましょうか？
というところなのです。
x2＋xy＋y2＝N2＋N＋1
左辺を平方完成してみましょうか。
x2＋2xy＋y2－xy＝(x＋y)2－xy
(x＋y)2－xy＝N2＋N＋1
同じ次数で揃えると、
(x＋y)2－N2＝N＋xy＋1
(x＋y＋N)(x＋y－N)＝N＋xy＋1
こんな感じになりました。
さて、ここからどうしましょうかね。
何か考えついたら、追記しますね。
ではでは