午後のひとときに、私はまだ解決して居ない問題の続き。
正多角形の1頂点と中心を結んだ中心線。
その赤線に垂直に交わる各頂点を結ぶ平行線。
中心線は平行線で分割されていますね。
多角形の1辺の長さを2として、平行線で分割されったそれぞれの中心線の2乗の和を考えます。
前回は、
n/2 Σ k＝1 | 2・(cos(2kπ/n)－cos(2(k－1)π/n))2 1－cos(2π/n) | ＝ | n |
ここまで出来ました。
この式が恒等式であるかの確認のために、プログラムを書いてみた。
polygon.c
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
int main()
{
int k, n;
long double r2,sum;
for (n=3; n<=1000000; n++) {
r2 = 2/(1.0L-cosl(2*M_PI/n));
sum = 0;
for (k=1; k<=n/2; k++) {
sum += r2*powl(cosl(2*k*M_PI/n)-cosl(2*(k-1)*M_PI/n),2.0L);
}
printf("%d\t%f\n",n,(double)sum);
}
return EXIT_SUCCESS;
}
これを実行したら、とりあえず恒等式っぽいことは解ったが、これでは数学の証明にはなっていない。
wolframに左辺を与えるとnを返すので、間違ってはいないが、さてどうするべか。
ではでは