午後のひとときに、私はまだ解決して居ない問題の続き。
正多角形の1頂点と中心を結んだ中心線。
その赤線に垂直に交わる各頂点を結ぶ平行線。
中心線は平行線で分割されていますね。
多角形の1辺の長さを2として、平行線で分割されったそれぞれの中心線の2乗の和を考えます。
前回は、複素平面でやれば…という話しを書いたが、それについて考えてみよう。
複素平面で考えるならば、図を時計回りに90˚回転させて、赤線を水平にするのが良いだろう。
まず、辺の長さが2であることから、半径rを考えてみる。
使うのは余弦定理ですね。
正n角形（n≧3）について考えるので、
ラジアンの円周2πをnで割ったのが頂角で、底辺2、斜辺rの二等辺三角形ということなので、
22＝r2＋r2－2r2cos(2π/n)
4＝2r2(1－cos(2π/n))
2r2＝4/(1－cos(2π/n))
r2＝2/(1－cos(2π/n))
r＝√2/(1－cos(2π/n))
続いて、複素平面の単位円に内接する正n角形の各頂点の実数軸の座標を求めると、
0≦k≦n/2
を満たす整数kに対して、
1－cos(2kπ/n)
これらを使って、分割線の長さを考えると、
n/2 Σ k＝1 | 2・(cos(2kπ/n)－cos(2(k－1)π/n))2 1－cos(2π/n) | ＝ | n |
こんな式になるのかな。
まだ、頭の中が整理出来てないけど、この等式が示せれば、証明出来ますね。
ではでは