午後のひとときに、今取り組んでいる数学の問題を紹介する。
問題
a 2 | ＋ | b 3 | ＋ | c 5 | ＋ | d 7 | ＝ | 1 abcd |
左辺の分母が素数で、分子が0ではない整数のとき、
右辺の分母の絶対値が最小となる組を求めよ。
という問題について、左辺の項数を増やしていくことを考えている。
プログラムを組むにしても、膨大なネストになるというのが予想されるので、何かしら数学的な考証が出来ないかを考えている。
セオリーとしては、項数が少ないものから順番に考えていって、何らかのルールを探るしかないだろう。
| 項数 | 左辺分子 | 右辺分母の絶対値 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1,-1 | 1 |
| 3 | -1, 1, 1 | 1 |
| 4 | 1, 1,-2,-3 | 6 |
| 5 | 1,-1,-2, 1, 1 | 2 |
| 6 | 1,-1, 1,-1,-5, 3 | 15 |
| 7 | -1, 1,-2, 2, 1, 4,-2 | 32 |
| 8 | -1, 1, 2,-1,-4, 5,-1,-1 | 40 |
| 9 | 1.-1,-1, 3,-4, 7,-3,-5,-3 | 3780 |
右辺分母の絶対値が最小かは、大きな項数の場合は確かではないが、等式は満たすものは見つかってはいる。
さて、どうしたものか…
なんとなくだが、左辺の分子の上限下限がフィボナッチ数列に収まっているように見えなくもないので、そのようなプログラムを書くことは可能だろうが、それが最小の右辺の分母の絶対値を見つけるかは別問題である。
数学の問題というと、解決できる問題ってのは極わずかで、解決できない問題のほうが遥かに多い。
小学校の算数、中学校、高校の数学、これらで学ぶものは、基本的に解決出来る問題しか扱ってこない。
つまり、出題された問題は解くことが出来る問題ということです。
9項のときの右辺分母の絶対値3780は、唐突に大きくなってしまっていないか？
と考えてしまう。
もっと小さいものがありそうではあるが、それを見つける術に手こずっている状態である。
ではでは