午後のひとときに、数学の証明問題を解いてみる。
問題
2n-1が素数ならば、nが素数であることを示せ。
シンキングタ～イム
メルセンヌ数の証明ですね。
素数であることの証明は、結構面倒なのです。
素数でないことの証明は、思っているより簡単です。
というわけで、待遇を取って証明しようかと思います。
2n-1が素数ならば、nが素数である
の待遇を取ると、
nが素数でないならば、2n-1が素数でない
つまり、
nが1か合成数ならば、2n-1が1か合成数であることを示す … (1)
nについて場合分けすると、
n=1のとき、
2n-1 = 1
(1)を満たす。
nが合成数のとき、
n = kpとする。
pを素数とすると、
nが合成数より、n≧4となり、
最小の素数2を入れると、
kは、a＞k≧2を満たす整数となる。
2kp-1 = (2p-1)(2k-1+2k-2+2k-3+…+21)
のような因数分解が出来る。
すると、
2k-1+2k-2+2k-3+…+21≧2の整数となり、
n＞p≧2
2n-1＞2p-1＞1
と不等式で表せるので、
2n-1は、2p-1を約数に持つので合成数である。
よって(1)を満たす。
これらより、
nが1か合成数ならば、2n-1が1か合成数であることが示された。
待遇を取ると、
2n-1が素数ならば、nが素数であることが示された。
Q.E.D.
いかがでしたでしょうか。
ではでは
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