午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
70C35を71で割った余りを求めよ。
シンキングタ～イム
定義から、
70C35 = 75!/((75-35!)・35!)
= (70・69・68・…・38・37・36)/(35・34・33・…・3・2・1)
= (70・69・68・…・38・37・36)/35!
ですね。
これのmod 71を考えるわけです。
法を71とします。
分数は面倒なので、両辺に35!を掛け、
35!・(70C35) ≡ 70・69・68・…・38・37・36 (mod 71)
35!・(70C35) ≡ (-1)・(-2)・(-3)・…・(-33)・(-34)・(-35) (mod 71)
右辺は負の数が奇数個なので、
35!・(70C35) ≡-(35!) (mod 71)
左辺を右辺に移項して、
35!・(70C35)+35! ≡ 0 (mod 71)
35!・(70C35+1) ≡ 0 (mod 71)
これより、左辺は71の倍数であることが解ります。
35!は、素数である71とは互いに素なので、
70C35+1 ≡ 0 (mod 71)
となり、左辺の+1を移項して、
70C35 ≡ -1 (mod 71)
故に、
70C35を71で割った余りは、71-1=70。
答え 70
ちなみに、
70C35 = 112186277816662845432
と手計算では求めたくないような数ですね。
これを71で割って余りを出すということも出来なくはないですが、
まぁ、手計算ではやりたくはないですね。
今回の問題、71が素数であるから比較的簡単に求めることが出来ましたが、素数でなくなると、簡単にはいきません。
50C25を51で割った余りを求めよ。
という問題だとすると、
25!・(50C25) ≡ 50・49・48・…・28・27・26 (mod 51)
25!・(50C25) ≡ (-1)・(-2)・(-3)・…・(-23)・(-24)・(-25) (mod 51)
25!・(50C25) ≡ -(25!) (mod 51)
25!・(50C25)+25! ≡ 0 (mod 51)
25!・(50C25+1) ≡ 0 (mod 51)
ここまでは計算出来ますが、
51 = 3・17
ですので、
25!には素因数3も17もあるので、25!が51で割り切れます。
というわけで、今回のようなパターンに持っていけませんね。
ちなみに、この答えは36です。
ではでは