午後のひとときに、図形問題を解いてみる。
図のように、三角形ABCに内接する正方形PQRSの面積を、算数の範囲で求めよ。
シンキングタ～イム
算数の範囲で求まるのか？と思われるような問題ですが、求まるのでしょうね。
というわけで、最初の補助線をどこに引きましょうか。
補助線PRを引きました。
同じ角を持つ三角形APRと三角形ABCの面積は、角を夾む2辺の積の比で表せ、
三角形APRの面積：三角形ABCの面積＝7×9：(7＋6)×(9＋2)＝63：143
これより、三角形APRの面積と四角形PBCRの面積比は、
三角形APRの面積：四角形PBCRの面積＝63：143－63＝63：80
と求まります。
三角形PBQの面積比は、三角形ABCの面積比を143とすると、高さが6/(7＋6)と考えると、
143×(6/(7＋6))÷2＝33
三角形RQCの面積比は、三角形ABCの面積比を143とすると、高さが2/(9+2)と考えると、
143×(2/(9＋2))÷2＝13
四角形PBCRの面積比は80なので、
三角形PQRの面積比は、
80－33－13＝34
となり、
正方形PQRSの面積比は、
34×2＝68
四角形APSRの面積比は、
63－34＝29
と各領域の面積比が求まった。
三角形PBQをPを軸に反時計回りに90˚回転、
三角形RQCをRを軸に時計回りに90˚回転すると、
PQRSは正方形、
∠BQB＋∠RQC＝90˚
BQ=QC
なので、
図のようになります。
四角形APTRは、∠APTと∠ARTが直角より、
面積は、
7×6÷2＋9×2÷2＝30
と求まる。
四角形APTRの面積比は、
29＋33＋13＝75
より、
面積比1は、
30÷75＝0.4
となり、
正方形PQRSの面積は、
68×0.4＝27.2
答え 27.2cm2
道のりはかなり長いですが、算数の範囲で解ける、良問でしたね。
ではでは