午後のひとときに、数学の有名な確率の問題について考えてみる。
問題
円に内接する正三角形を考え、その円の弦を1本無作為に選ぶとき、
弦が正三角形の1辺より長くなる確率を求めよ。
シンキングタ～イム
今回の問題、数学者の間でも、どれが正しいのか、おそらくまだ解決していない問題です。
解答1
円周上の点は、どこを選んでも同じでなので、正三角形の頂点とする。
そこから、中心からの角度が0˚から360˚までを無作為に選び弦を描く。
正三角形の1辺より長くなるものは青色、
正三角形の1辺より短くなるものは赤色、
で示した通り。
円周を正三角形の頂点で3等分しているので、
長くなる確率は1/3となる。
解答2
円周上の点は、どこを選んでも同じなので、三角形の頂点と逆の位置にし、中心と結んで半径を示した。
この半径上の無作為に選んだ点を通る直交線を弦とする。
正三角形の1辺より長くなるものは青色、
正三角形の1辺より短くなるものは赤色、
で示した通り。
正三角形の1辺が半径を2等分しているので、
長くなる確率は1/2となる。
解答3
円内に無作為に点を選び、その点が円の中心でなければ、その点を中心とする弦は一意に定まる。
その中心点が、正三角形に内接する円の内側に入れば、正三角形の1辺よりも弦が長いことになる。
正三角形の1辺より長くなるものは青色、
正三角形の1辺より短くなるものは赤色、
で示した通り。
小円の半径は大円の半径の半分より、面積比は1：4となるので、
長くなる確率は1/4となる。
さて、解答を3通り示しましたが、いずれも題意の通り無作為に弦を選んでいますが確率が異なるという奇問ですが、それぞれの解答に不備があるようには思えません。
私は、問題文の「作為的」の説明が不足しているという考えです。
皆さんは、1/3、1/2、1/4のどれが正しいと思いますか？
それとも、上記以外の値があると思いますか？
はたまた、私と同様に問題文に問題があると思いますか？
ではでは