午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
3辺の長さがx, x+1, 2x-3の三角形があるとき、以下の問いに答えよ。
(1) xの取りうる範囲を不等号を用いて表わせ。
(2) この三角形が直角三角形となるxを求めよ。
シンキングタ～イム
代数幾何学ですね。
(1)について、
3辺の長さが示されているとき、隣り合う2辺の和は、残りの1辺の長さよりも長い。
つまり、3辺の長さをa、b、cとすると、
a+b > c
b+c > a
c+a > b
という不等式がすべて成り立つ必要があります。
よって、
x+(x+1) > 2x-3
(x+1)+(2x-3) > x
(2x-3)+x > x+1
となり、それぞれを計算すると、
2x+1 > 2x-3 ⇒ 1 > -3
3x-2 > x ⇒ 2x > 2 ⇒ x > 1
3x-3 > x+1 ⇒ 2x > 4 ⇒ x > 2
よって、
x > 2
(2)について、
直角三角形ということで、3辺の一番大きな辺が斜辺となり、三平方の定理を使えば求めることが出来る。
さて、どれが斜辺なのだろうか。
xとx+1であれば、
x < x+1
であるため、xは斜辺ではないことが確定します。
x+1と2x-3は、大小関係はわかりません。
ということで、
x2+(x+1)2 = (2x-3)2
と
x2+(2x-3)2 = (x+1)2
の2つを考える必要があります。
前者を計算すると、
x2+x2+2x+1 = 4x2-12x+9
2x2-14x+8 = 0
x2-7x+4 = 0
x = (7±√49-4・4)/2 = (7±√33)/2
49 > 33より、±ともにxは正
x = (7±√33)/2
後者を計算すると、
x2+4x2-12x+9 = x2+2x+1
4x2-14x+8 = 0
2x2-7x+4 = 0
x = (7±√49-4・2・4)/(2・2) = (7±√17)/4
49 > 17より、±ともにxは正
x = (7±√17)/4
よって、
x = (7±√33)/2, (7±√17)/4
と4個あるが、
(1)より、x > 2という条件を満たす必要がある。
√25 < √33 < √36
より、
5 < √33 < 6
となって、
x = (7+√33)/2 > (7+5)/2 = 12/2 = 6 > 2
x = (7-√33)/2 > (7-5)/2 = 2/2 = 1 < 2となり不適
√16 < √17 < √25
より、
4 < √17 < 5
となって、
x = (7+√17)/2 > (7+4)/2 = 11/2 = 5.5 > 2
x = (7-√17)/2 > (7-4)/2 = 3/2 = 1.5 < 2となり不適
よって、
x = (7+√33)/2, (7+√17)/2
図形問題を文章題にされると、イメージし辛かったりしますが、図形問題とは違ったアプローチとかも出来るので、三角形の成立条件といった問題もやっておく必要があるだろう。
ではでは