午後のひとときに、数学の図形問題を解いてみる。
問題
図のように、半円に線を引いたところ、色付きの三角形ADEと四角形EOBCの面積が等しかった。
∠CED＝θを求めよ。
シンキングタ～イム
つい最近、似たような面積の問題がありましたが、今回も考え方は同じです。
三角形ADEの面積は、三角形ADOから三角形AEOを引いた面積。
四角形EOBCの面積は、三角形ACBから三角形AEOを引いた面積。
これを踏まえて、補助線を引いて考えます。
中心OとC、Cから線分ABへの垂線の足をFとする。
半円の半径をr、CFをhとおくと、
⊿ADOの面積は、r×r÷2、
⊿ACBの面積は、2r×h÷2、
これらが等しいので、
r×r÷2＝2r×h÷2
r＝2h
h＝r/2
ここで、OCがrであることより、
⊿OCFは30˚、60˚、90˚の直角三角形である。
また、⊿OACは、rを2斜辺とする二等辺三角形で、
頂角の外角が30˚より、2底角は半分の15˚。
∠DECと∠ECFは錯角より、
θ＝60˚＋15˚＝75˚
答え θ＝75˚
前回の図形問題より、ちょっとだけ手間がかかりますが、考え方は同じでしたね。
ではでは