午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
5130の桁数をlogを使わずに求めよ。
シンキングタ～イム
さて、どうやって解きましょうか。
logを使わずに解ける問題ってことなんで、10のべき乗で挟み込めるような問題なんでしょうね。
というわけで、
| 5130＝ | 10130 2130 | … (1) |
と変形してみます。
2130の桁数を求める問題になり、少しは楽かと思います。
2のべき乗は、
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 …
と、ある程度までは言えるようにしておきましょう。
210＝1024
213＝8192
これらを利用する。
103＜213＜104
それぞれを10乗すると、
(103)10＜(213)10＜(104)10
1030＜2130＜1040 … (2)
これでは、2130の桁数のレンジが広すぎます。
そこで、下側をもう少し上げていくのに、もう一つを使います。
103＜210＜104
それぞれを13乗すると、
(103)13＜(210)13＜(104)13
1039＜2130＜1052 … (3)
となり、
(2)、(3)より、
1039＜2130＜1040 … (4)
2130は40桁であることが解りました。
(4)式の逆数を取ると、符号の向きが逆になって、
1 1039 | ＞ | 1 2130 | ＞ | 1 1040 |
となって、それぞれに10130を掛けると、
10130 1039 | ＞ | 10130 2130 | ＞ | 10130 1040 |
10130-39＞5130＞10130-40
1091＞5130＞1090
これより、5130は91桁であることが解りました。
答え 91桁
130乗というのが絶妙な値だったということですね。
因みに、多倍長電卓で求めて、10桁ずつに区切ると、
7346839692 6392969248 0460335763 9035486366 6597298255 4700942969 8164240107 8715920448 3032226562 5
と91桁ですね。