午後のひとときに、図形問題を解いてみる。
問題
正六角形ABCDEFの内部に点Pを取り、
⊿ABP、⊿EFP、⊿FAPの面積をa、b、cとするとき、
正六角形ABCDEFの面積を求めよ。
シンキングタ～イム
さて、今回はどんな補助線をひきましょうか。
線分BAをA方向に、線分EFをF方向に伸ばして、交点をGとし、PGを結ぶ。
ABCDEFは正六角形なので、AFGは正三角形であり、AB＝AG、FE＝FGとなり、
底辺と高さが等しいので、
⊿ABPの面積＝⊿AGPの面積＝a、⊿FEPの面積＝⊿FGPの面積＝b、となる。
⊿GAF＝四角形GAPF－⊿APF＝a＋b－c
となり、正六角形の面積は⊿GAFの6個分ということで、
答え 6・(a＋b－c)
別解
CP、DPを引いて、⊿CDPの面積をdとし、正六角形ABCDEFの面積を6xとおく。
⊿FAPの底辺をFAとした高さと、⊿CDPの底辺をCDとした高さの和は、線分ACと等しいので、
c+d＝2x
という関係が解り、対辺を底辺とする他の三角形についても同様であり、
3x＝a＋b＋d
と立式出来、
d＝2x－c
と変形して代入すると、
3x＝a＋b＋(2x－c)＝a＋b－c＋2x
3x－2x＝a＋b－c
x＝a＋b－c
6x＝6・(a＋b－c)
答え 6・(a＋b－c)
いかがだったでしょうか。
的確な補助線が引ければ、小学生でも難なく解ける問題でしたね。
おそらく、別解のほうの補助線を引いてしまった人が多いかと思いますが、ちょっと手間が掛かるように思えます。
まぁ、どちらにしても解ければokです。
他にも、乱暴ではあるが、点Pを点Cや点Dに固定して、1辺の長さを決めて、ゴリゴリと求めることも出来なくはないですが、あまりエレガントとは言えませんね。
ではでは