午後のひとときに、ドラゴン桜の問題を解いてみる。
問題
(1) 2021は素数か？
(2) a3+b3-3ab = 2020を満たす整数(a, b)は存在するか？
シンキングタ～イム
ある年度の数学の問題に、その年の西暦を使った問題というのは、あるあるですよね。
そういうことは事前に解っているので、やれることはやっておくというのが一般的ですね。
(1)
2021 = 2045-4 = 452-22 = (45+2)(45-2) = 47×43
ということで、合成数ですので、素数ではありません。
こんな方法思いつかないよということは、ある意味言い訳になります。
2021年の入試ならば、2021が絡む問題が出る確率が多少は高いのですから、対策はしておくものです。
(2)
a3+b3-3ab = 2020
これの、
a3+b3
だけをみて、
a3+b3 = (a+b)(a2-2ab+b2)
を思い浮かべるだろうが、
a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
を思い浮かべて欲しい。
c = 1とすると、
a3+b3+1-3ab = (a+b+1)(a2+b2+1-ab-b-a) = 2020+1 = 2021
となって、(1)が誘導問題となっていることが解り、
(a+b+1)(a2+b2+1-ab-b-a) = 47×43
a+b+1 = X
a2+b2+1-ab-b-a = Y
とおいて、Yの式をXを使って表せないかを考える。
a+b = X-1
と変形すると、
Y = a2+b2+1-ab-b-a = (a+b)2-2ab+1-ab-(b+a)
= (a+b)2-3ab-(a+b)+1
= (X-1)2-3ab-(X-1)+1
= (X-1)2-3ab-X+2
3ab = (X-1)2-X-Y+2
(X, Y) = { (±1, ±2021), (±43, ±47), (±47, ±43), (±2021, ±1) }
の8通りを考えればよい。
X = 1、Y = 2021のとき
3ab = (1-1)2-1-2021+2 = -2022
-2020は3の倍数ではないので、不適
X = -1、Y = -2021のとき
3ab = (-1-1)2+1+2021+2 = 2028
ab = 676
a+b = X-1 = -2
足して-2、掛けて676より、
t2-2t+676 = 0
D = (-2)2-4・676 < 0より、不適
X = 43、Y = 47のとき
3ab = (43-1)2-43-47+2 = 1676
1376は3の倍数ではないので、不適
X = -43、Y = -47のとき
3ab = (-43-1)2+43+47+2 = 2028
ab = 676
a+b = X-1 = -44
足して-44、掛けて676
t2-44t+676 = 0
D = (-44)2-4・676 < 0より、不適
X = 47、Y = 43のとき
3ab = (47-1)2-47-43+2 = 2028
ab = 676
a+b = X-1 = 46
足して46、掛けて676
t2+46t+676 = 0
D = 462-4・676 < 0より、不適
X = -47、Y = -43のとき
3ab = (-47-1)2+47+43+2 = 2396
2396は3の倍数ではないので、不適
X = 2021、Y = 1のとき
3ab = (2021-1)2+2021+1+2 = 4078380
ab = 1359460
a+b = X-1 = 2020
足して2020、掛けて1359460
t2+2020t+1359460 = 0
D = 20202-4・1359460 < 0より、不適
X = -2021、Y = -1のとき
3ab = (-2021-1)2-2021-1+2 = 4090508
4090508は3の倍数ではないので、不適
これらより、
題意を満たす整数(a, b)は存在しない。
Q.E.D.
う～ん、これはちょっと長すぎるので、もっと短い解法があればいいが、どうなんでしょうか。
3ab = (X-1)2-X-Y+2
(X, Y) = { (±1, ±2021), (±43, ±47), (±47, ±43), (±2021, ±1) }
ここで、
t2+(a+b)t+ab = 0
を考え、判別式Dは、
D = (a+b)2-4ab > 0
でなければ、整数解を持たないので、
(a+b)2 > 4ab
という不等式が成り立つ必要があり、X、Yの式にすると、
(X-1)2 > (4/3)・((X-1)2-X-Y+2)
3・(X-1)2 > 4・(X-1)2-4X-4Y+8
4X+4Y-8 > (X-1)2
(X-1)2 > 0より、
4X+4Y-8 > 0となり、
X+Y-2 > 0
X、Yは共に正、共に負で、共に負は成り立たず、
(X, Y) = { (1, 2021), (43, 47), (47, 43), (2021, 1) }
の4通りを考えればよい。
X = 1、Y = 2021のとき
3ab = (1-1)2-1-2021+2 = -2022
-2020は3の倍数ではないので、不適
X = 43、Y = 47のとき
3ab = (43-1)2-43-47+2 = 1676
1376は3の倍数ではないので、不適
X = 47、Y = 43のとき
3ab = (47-1)2-47-43+2 = 2028
ab = 676
a+b = X-1 = 46
足して46、掛けて676
t2+46t+676 = 0
D = 462-4・676 < 0より、不適
X = 2021、Y = 1のとき
3ab = (2021-1)2+2021+1+2 = 4078380
ab = 1359460
a+b = X-1 = 2020
足して2020、掛けて1359460
t2+2020t+1359460 = 0
D = 20202-4・1359460 < 0より、不適
これらより、
題意を満たす整数(a, b)は存在しない。
Q.E.D.
う～ん、まだ長いなぁ。
(a+b+1)(a2+b2+1-ab-b-a) = 47×43
ここまでは良いとして、
a+b+1 = X
a2+b2+1-ab-b-a = Y
とおくと、
Y = a2+b2+1-ab-b-a = (a-1)2/2+(b-1)2/2+(a-b)2/2
より、
Y > 0
となり、
X > 0
となる。
a+b = X-1
と変形し、
Y = a2+b2+1-ab-b-a = (a+b)2-2ab+1-ab-(b+a)
= (a+b)2-3ab-(a+b)+1
= (X-1)2-3ab-(X-1)+1
= (X-1)2-3ab-X+2
3ab = (X-1)2-X-Y+2
(X, Y) = { (1, 2021), (43, 47), (47, 43), (2021, 1) }
の4通りを考えればよい。
X = 1、Y = 2021のとき
3ab = (1-1)2-1-2021+2 = -2022
-2020は3の倍数ではないので、不適
X = 43、Y = 47のとき
3ab = (43-1)2-43-47+2 = 1676
1376は3の倍数ではないので、不適
X = 47、Y = 43のとき
3ab = (47-1)2-47-43+2 = 2028
ab = 676
a+b = X-1 = 46
足して46、掛けて676
t2+46t+676 = 0
D = 462-4・676 < 0より、不適
X = 2021、Y = 1のとき
3ab = (2021-1)2+2021+1+2 = 4078380
ab = 1359460
a+b = X-1 = 2020
足して2020、掛けて1359460
t2+2020t+1359460 = 0
D = 20202-4・1359460 < 0より、不適
これらより、
題意を満たす整数(a, b)は存在しない。
Q.E.D.
う～ん、まだ長いような気がするが、これくらいにしておくかな。
ではでは