午後のひとときに、図形問題を解いてみる。
問題
円弧上の点を反時計回りにA、B、C、D、線分ACと線分BDの交点をEとし、
AB = 5cm
CD = 4cm
AC⊥BD
となるようにA、B、C、Dを配置した。
円の面積を求めよ。
シンキングタ～イム
図形問題なので、補助線と行きたいところですが、とりあえずこの状態で解ることを考えます。
弧BCに対して、∠BACと∠BDCは円周角となり等しい。
同様に、弧ADに対して、∠ABDと∠ACDは円周角で等しい。
これらより、
⊿EAB∽⊿EDC … (1)
である。
補助線、AD、BCを結ぶ。
円が出てきたら、中心と接線や交点などを結ぶという鉄則がありましたが、この問題に関しては中心点はどことも結びませんので、鉄則を使わない反例かもしれません。
⊿DACに着目すると、
底辺をAC、高さをDEとする三角形であり、外接円の半径の公式、
R = abc/(4S)
と、3辺の長さa、b、cと三角形の面積Sから、外接円の半径Rを求めることが出来る。
仮に、
AD = a
DC = b
AC = c
DE = h
とすると、
4S = 4ch/2 = 2chより、
R = abc/(2ch) = ab/(2h) … (2)
と変形出来る。
(4)より、
AE = (5/4)h
AD = a = √((5/4)h)2+h2 = √(25/16)h2+(16/16)h2 = (√41/4)h
(2)式にa、bを代入すると、
R = (√41/4)h・4/(2・h)
= √41/2
とhが約分される。
よって、
円の面積は、
πR2 = 41π/4
答え 41π/4 cm2
外接円の半径を求める公式から、
R = ab/(2h)
というものも容易に導出出来るので、今回のようなケースに備えて導出を覚えておくと良いかと思う。
ではでは