午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
aが3以上、9999以下の奇数で、
a2-aが10000の倍数であるaを、
すべて求めよ。
シンキングタ～イム
整数問題ですね。
a2-aを因数分解すると、
a(a-1)
となり、aは奇数なので、a-1は偶数となり、
aとa-1はユークリッドの互除法より、
最大公約数が1となり、互いに素であることが解る。
方や、
10000を素因数分解すると、
10000 = 24・54
となり、
aは奇数より、54 = 625の倍数で、
a-1は偶数より、24 = 16の倍数と絞られます。
625-1 = 624は16の倍数より、a=625のとき成り立つ。
625と16は互いに素なので、
625n-1が16の倍数になるには、
n=1の次は16を加えて、n=17となるが、
625×17-1 = 10624となり、題意を満たさない。
よって、aは625のみである。
答え a = 625
ではでは