午後のひとときに、算数のクイズを解いてみる。
問題
一郎くん、次郎くん、三郎くんは3人兄弟。
3人の年齢はすべて素数で、それぞれの年齢差もすべて素数でした。
一郎くん、次郎くん、三郎くんの年齢を答えよ。
シンキングタイム
さて、どのように考えていきましょうか。
素数には偶素数の2と、3以上の奇素数の2種類に分けることができます。
奇素数の差は必ず偶数なので、
3人の年齢がすべて奇素数だと仮定すると、
次郎くんと残りのどちらかとの差で偶素数2を使ってしまうと、一郎くんと三郎くんの差が2より大きい偶数となり、素数になることはありません。
よって、誰かしらは2歳ということが確定し、2は最小の素数なので、三郎くんが2歳と確定します。
ここで、次郎くんと三郎くんの年齢差が2歳だとすると、次男の年齢が偶数となり、奇素数になりえません。
よって、一郎くんと次郎くんの年齢差が2歳と確定します。
あとは、次郎くんと三郎くんの年齢差が確定すれば、3人の年齢が確定します。
一郎くんと次郎くんはともに奇素数歳なので、
仮に2人が10歳以上だとして、2桁以上の奇素数の一の位に着目すると、1、3、7、9に限られます。
年齢差が2となるのは、1と3、7と9、9と1の3パターンの組み合わせしかありません。
三郎くんが2歳で、奇素数歳離れた一郎くんと、次郎くんということを考えると、
1と3の場合、
次郎くん＝10n+1 … (1)
一郎くん＝10n+3 … (2)
これらから、三郎くんの2を引いた、
10n-1 … (3)
10n+1 … (4)
の4式が出来るが、(1)式と(4)式は同じなので、
10n-1
10n+1
10n+3
の3式がすべて素数となるには、3式の差が2ずつ離れていることから、3、5、7しか存在せず、
10n-1=3
10n+1=5
10n+3=7
より、
n=4/10
となり、nは整数ではないので不適。
7と9の場合、
次郎くん＝10n+7 … (5)
一郎くん＝10n+9 … (6)
これらから、三郎くんの2を引いた、
10n+5 … (7)
10n+7 … (8)
(5)式と(8)式は同じなので、
10n+5=3
10n+7=5
10n+9=7
より、
n=-2/10
となり、nは整数ではないので不適。
9と1の場合、
次郎くん＝10n+9 … (9)
一郎くん＝10n+11 … (10)
これらから、三男の2を引いた、
10n+7 … (11)
10n+9 … (12)
(9)式と(12)式は同じなので、
10n+7=3
10n+9=5
10n+11=7
より、
n=-4/10
となり、nは整数ではないので不適。
これらより、次郎くんは2桁歳ではないことが確定します。
また、一郎くんと次郎くんは2歳差なので、
一郎くんが2桁の素数の最小である11歳だとすると、次郎くんは9歳となり、次郎くんが素数ではなくなるので、一郎くん、次郎くんは1桁歳ということが確定します。
1桁の素数は、2、3、5、7の4種類。
仮に、次郎くんが3歳だとすると、三郎くんとの年齢差が1歳差となり1は素数ではないので不適。
残りは、一郎くん7歳、次郎くん5歳、三郎くん2歳となり、
一郎くんと次郎くんの年齢差は2歳差、
一郎くんと三郎くんの年齢差は5歳差、
次郎くんと三郎くんの年齢差は3歳差、
といずれも題意を満たす。
答え
一郎くん7歳、次郎くん5歳、三郎くん2歳
いかがだったでしょうか。
ではでは