午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
ここに1cm方眼のA4サイズの方眼紙がある。
好きな格子点を5個選んで、それぞれの点を直線で結ぶ。
結ばれた10本の線分のうちの最低でも1本は、
中点が格子点のものが存在することを示せ。
シンキングタ～イム
最近、この手の数学の問題を出して居なかったので、すごく新鮮です。
さて、どのように解きましょうか。
実際に手を動かしてやってみると、最低でも1本の線分の中点は格子点となっていることが解ります。
この問題を解くには、鳩の巣原理を使います。
方眼に仮に原点を作ると、5つの格子点(x, y)は、
(偶数, 偶数)
(偶数, 奇数)
(奇数, 偶数)
(奇数, 奇数)
の4パターンのうちのいずれかとなり、格子点は5個なので、格子点が2つ以上当てはまるパターンが1つは存在することになります。
中点の座標は、
((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
で、
x座標、y座標に関わらず、同じパターンの2組から中点を求めると、(奇数＋奇数)/2、(偶数＋偶数)/2、どちらにしても、x座標、y座標ともに整数となり、中点も格子点となります。
Q.E.D.
鳩の巣原理を使う問題、面白いですよね。
ではでは