午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
4x＋6x＝9x
x＞0
を満たすxを求めよ。
シンキングタ～イム
さて、どのように解きましょうか。
それぞれの基数を素因数分解してみます。
(22)x＋(2・3)x＝(32)x
(2x)2＋(2x)・(3x)＝(3x)2
ここで、
3x＝a
2x＝b
とおくと、
b2＋ab＝a2
a2－ab－b2＝0
aについて、解の公式で解くと、
a＝(b±√(－b)2－4・1・(－b2))/2＝(b±√5b2)/2＝(b±b√5)/2＝b・(1±√5)/2
a＞0、b＞0より、
a＝b・(1＋√5)/2
a/b＝(1＋√5)/2
3x/2x＝(1＋√5)/2
(3/2)x＝(1＋√5)/2
両辺のlogを取ると、
log(3/2)x＝log(1＋√5)/2
x・log(3/2)＝log((1＋√5)/2)
x＝log(3/2)((1＋√5)/2)
別解
一番小さな項の4xで各項を割る。
4x/4x＋6x/4x＝9x/4x
1＋(6/4)x＝(9/4)x
1＋(3/2)x＝(3/2)2x
1＋(3/2)x＝((3/2)x)2
(3/2)x＝aとおくと、
1＋a＝a2 a2－a－1＝0
a＝(1±√(-1)2－4・1・(－1))/2＝(1＋√5)/2
a＞0より、
a＝(1＋√5)/2
(3/2)x＝(1＋√5)/2
両辺のlogを取ると、
log(3/2)x＝log(1＋√5)/2
x・log(3/2)＝log(1＋√5)/2)
x＝log(3/2)((1＋√5)/2)
さて、前にも書いたかと思うのですが、logってどの形で終わらせるのが良いのか、私の中でもよく解っていない。
例えば、今回の答えを例にすると、
式変形パターンA
x・log(3/2)＝log(1＋√5)/2)
x＝log(3/2)((1＋√5)/2)
式変形パターンB
x・log(3/2)＝log(1＋√5)/2)
x・(log(3)－log(2))＝log(1＋√5)－log(2)
x＝(log(1＋√5)－log(2))/(log(3)－log(2))
他にも、式変形パターンの底と基数の逆数を取った、
x＝log(2/3)((√5－1)/2)
これは、9xで割るとこうなっている可能性もあり、これらを複合したものも考えられる。
出題者側は、さまざまな解答パターンを考えておくというのは、ちょっと面倒だとは思うので、ある程度の取り決めは必要だと考えます。
底は1以上とするとかであれば、式変形パターンのAに定まるし、
底はeの自然対数lnだけで表わせとか、であれば、式変形パターンのBのlogをlnに置き換えれば良いだろう。
ではでは