午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
3cm、4cm、5cmの直角三角形の斜辺に沿って、図のように接する合同な3つの円がある。
半径rを求めよ。
シンキングタ～イム
円が出たらやることは決まってますよね。
中心、接点、これらを結ぶ。
更に、中心と頂点を結ぶ。
すると、3つの三角形と1つの台形が出来ます。
青線が半径rですので、rを使った式で面積を求められればよいということが解ります。
2つの三角形と、台形は高さがrなので、rを使って面積が求まりますが、残った1つの三角形の底辺を4rとした高さを求める必要が出てきます。
直角三角形の面積は、3×4÷2＝6と求まりますので、底辺を5とした高さを求めると、
6×2÷5＝12/5となり、rを引いたものが、先の残った1つの三角形の高さということになり、
3r/2＋4r/2＋(5＋4r)r/2＋4r(12/5-r)/2＝6
3r/2＋4r/2＋5r/2＋4r2/2＋4r(12/5)/2－4r2/2＝6
3r＋4r＋5r＋(48/5)r＝12
15r＋20r＋25r＋48r＝60
108r＝60
r＝5/9
答え 5/9cm
まぁ、これでもまったく問題はないのですが、もっと簡単に求める方法があります。
直角三角形に内接する円（オレンジ）を描き、同様に補助線を引きます。
すると、左下に相似な凧形、右下に相似な凧形があることが解ります。
つまり、相似比が使えるということです。
三角形に内接する円の半径をRとすると、内接円の公式より、
R＝2S/(a＋b＋c)＝(2×3×4÷2)/(3＋4＋5)＝12/12＝1
つまり、直角三角形の直角と青線で出来る正方形の1辺が1cmということになり、
左下の凧系のRではない方の辺の長さは、3－1＝2
右下の凧系のRではない方の辺の長さは、4－1＝3
それぞれの辺がRを使って比で表せますね。
これを踏まえて、左下の凧形、右下の凧形はそれぞれ相似なので、rでも比は同じとなり、
底辺をこのように分割すると、左から2r、4r、3rとなることが解り、
2r＋4r＋3r＝5
9r＝5
r＝5/9
という圧倒的に少ない計算量で求めることが出来ます。
類題1
5cm、12cm、13cmの直角三角形に3つの円が斜辺に沿って内接しているならば、
R＝2S/(a＋b＋c)＝(5×12)/(5＋12＋13)＝60/30＝2
(5－2)r＋4r＋(12－2)r＝13
3r＋4r＋10r＝13
17r＝13
r＝13/17
類題2
3cm、4cm、5cmの直角三角形にn個の円が斜辺に沿って内接しているならば、
R＝2S/(a＋b＋c)＝(3×4)/（3＋4＋5)＝12/12＝1
(3－1)r＋(2n－2)r＋(4－1)r＝5
(2n＋3)r＝5
r＝5/(2n＋3)
といったように、値が変化しても難なく解けてしまいますね。
この解法は是非とも覚えておいて欲しいですね。
ではでは