午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
図のように、半円に内接する2つの正方形があるとき、
2つの正方形の面積の和を、半径rを使って表わせ。
シンキングタ～イム
今回はどのような補助線を引くのが良いのでしょうか。
正方形のどちらでも構わないのですが、このように弦で反転させて、対角線を結ぶ。
円周角は、正方形の対角線を貫いていることから、45˚だと解ります。
これにより、中心角は倍の90˚、つまり直角となります。
円と接点が出てきたら、中心と接点を結ぶというは、鉄則だと思います。
この赤線が対角線となるような長方形を描きます。
片方の長方形の対角線で分けられた角をそれぞれ○と✕とおくと、中心角の直角で✕と○となり、残りの長方形の角が○と✕となって、2つの長方形は合同であることが解ります。
よって、対角線で区切られた4つの青い直角三角形も合同であり、ピンクの四角形は正方形となる。
ここで、問題の2つの正方形の面積は、ピンクの正方形と4つの合同の直角三角形の面積の和ですから、青い直角三角形を移動してつなぎ合わせると、
半径rを1辺とする正方形にすることが出来ますので、2つの正方形の和と等しい。
答え r2
いかがだったでしょうか。
円周角と中心角が出てきてしまうので、小学生は解けないことになってしまいますね。
小学生でも解ける方法がありましたら、コメントにてお待ちしております。
他にも、2つの正方形が同じ大きさでも成り立つので、とやることも出来なくはないですけれども、いささか乱暴ではありますが、答えを出したいという一心であれば、それもありかとは思います。
ではでは