午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
⊿ABCは正三角形で、内部に点Pを取ったところ、
PA＝4、PB＝3、PC＝5、となった。
ABの長さを求めよ。
シンキングタ～イム
図形問題です。
的確な補助線を引けるかが、勝負の分かれ道。
今回はどんな補助線を引くことになるのでしょうか。
補助線を引く前に、3つの三角形を色分けしておきます。
Aを軸に緑の三角形を、
Bを軸に青の三角形を、
Cを軸にピンクの三角形を、
それぞれ時計回りに60˚回転させます。
六角形AQBRCSは、三角形ABCの面積の2倍である。 … (1)
続いて、Pと新たな3頂点であるQ、R、Sとを直線で結ぶ。
新たな境界線で出来た形に着目して塗り分けをする。
水色の三角形は、60˚回転させた同辺なので、60˚を夾む二辺の長さが等しく、いずれも正三角形であり、それぞれの正三角形の辺の長さは、3、4、5である。 … (2)
黄色の三角形は、いずれも合同な3：4：5の直角三角形である。 … (3)
(1)、(2)、(3)より、
六角形AQBRCSの面積は、
（3つの正三角形の面積）＋（3つの3：4：5の直角三角形の面積）
＝(32＋42＋52)×√3/4＋3×(3×4)/2＝25√3/2＋18
となり、
正三角形ABCの面積は半分の、
(25√3/2＋18)/2＝25√3/4＋9
ABの長さを求めたいので、
1辺の長さがxの正三角形の面積は、
x2√3/4
より、
x2＝(25√3/4＋9)×(4/√3)＝25＋12√3
xは正三角形の1辺の長さなので正より、
x＝√25＋12√3
答え
√25＋12√3
今回の図形問題は、軸で回転、同じ長さのものは合わせてみる、タイルの敷き詰めといったパターンで補助線を引くことでした。
すると、正三角形や、有名な直角三角形が現れて、面積から辺の長さを求めることが出来ました。
例えば、三角形の1辺をx、∠BPC＝α、∠CPA＝β、∠APB＝γとおいて、余弦定理より、
x2＝32+52－2・3・5・cos(α)＝34－30cos(α)
x2＝42+52－2・4・5・cos(β)＝41－40cos(β)
x2＝32+42－2・3・4・cos(γ)＝25－24cos(γ)
これを変形して、 α＝acos((34－x2)/30)
β＝acos((41－x2)/40)
γ＝acos((25－x2)/24)
として、 α＋β＋γ＝2πより、
acos((34－x2)/30)＋acos((41－x2)/40)＋acos((25－x2)/24)＝2π
この方程式をWolframに解かせると、
x＝±√25＋12√3
と返ってくるので、
xは正三角形の1辺の長さなので正より、
x＝√25＋12√3
となる。
もし、手計算で計算するとしたら、arctanの加法定理とか使うのだろう？
あまりにも面倒そうなのでやめておく。
x2＝(32＋42＋52)/2＋(3＋4＋5)×√3
を解くとか、
x2－50x＋193＝0
を解くとか、
答えからヒントになりそうな数式をを思い浮かべることは出来る。
これ以外にも解法はあるかとは思いますので、探してみるのも面白いかもしれません。
ではでは