午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
√28+211+2nが整数となる整数nを求めよ。
必要であれば、
log(2) ≒ 0.6931
log(3) ≒ 1.0986
を使え。
シンキングタ～イム
整数問題です。
√が整数となるということなので、√の中身は負ではダメですよね。
28+211+2n ＞ 0
という条件が浮き彫りにされます。
移項して、
2n ＞ -28-211
2n ＞ -28(1+23)
2n ＞ -28(1+8)
2n ＞ -28・9
2n ＞ -28・32
両辺の底を2としたlogを取ると、
log2(2n) ＞ log2(-28・32)
n・log2(2) ＞ log2(-28)+log2(32)
n・log2(2) ＞ 8・log2(-2)+2・log2(3)
n・log2(2) ＞ 8/log2(2)+2・log(3)/log(2)
n・1 ＞ 8/1+2・log(3)/log(2)
n ＞ 8+2・log(3)/log(2)
n ＞ 11.1701
n ≧ 12 … (1)
とnの範囲の片側が解りました。
√28+211+2n ＝ k とおいて、両辺を2乗して、
±(28+211+2n) ＝ k2
題意より、kは整数なので、
28+211+2n ＝ k2
2n ＝ k2-28-211
2n ＝ k2-28(1+23)
2n ＝ k2-28(1+8)
2n ＝ k2-28(9)
2n ＝ k2-28・32
2n ＝ k2-(24)2・32
2n ＝ k2-(24・3)2
2n ＝ k2-482
2n ＝ (k+48)(k-48)
n ＝ s+t
s ＞ t ≧ 0
とおくと、
2s+t ＝ (k+48)(k-48)
2s・2t ＝ (k+48)(k-48)
2s ＝ k+48 … (2)
2t ＝ k-48 … (3)
(2)-(3)を求めて、kを消去すると、
2s-2t ＝ 48+48
2t(2s-t-1) ＝ 96 ＝ 25・3
ここで、
2t は t ＞ 0 より、偶数
2s-t-1 は、s-t ＞ 0 より、奇数
である。
よって、
2t ＝ 25
2s-t-1 ＝ 3
2s-t ＝ 4 ＝ 22
t ＝ 5
s-t ＝ 2
s ＝ 7
n ＝ s+t ＝ 7+5 ＝ 12
答え
n ＝ 12
ではでは