午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題1
x+y = 11
y+z = 19
z+x = 14
を解け。
問題2
x+y+xy = 11
y+z+yz = 19
z+x+zx = 14
を解け。
シンキングタ～イム
さて、どうやって解きましょうか。
問題1
x+y = 11 … (1)
y+z = 19 … (2)
z+x = 14 … (3)
すべての式を足し合わせます。
x+y+y+z+z+x = 11+19+14
2x+2y+2z = 44
x+y+z = 22 … (4)
(4)から(1)、(2)、(3)それぞれを引くと、
(x+y+z)-(x+y) = 22-11 ⇒ z = 11
(x+y+z)-(y+z) = 22-19 ⇒ x = 3
(x+y+z)-(z+x) = 22-14 ⇒ y = 8
答え
(x, y, z) = (3, 8, 11)
問題1は簡単に解けました。
さて、問題2も同じアプローチで解けるのでしょうか？
xy、yz、zxが行く手を阻むことが容易に予想出来ますので、全く同じ攻略法というわけにはいきません。
問題2
x+y+xy = 11
y+z+yz = 19
z+x+zx = 14
それぞれの式の左辺を因数分解します。
(x+1)(y+1)-1 = 11
(y+1)(z+1)-1 = 19
(z+1)(x+1)-1 = 14
左辺の-1を移項して、右辺を素因数分解します。
(x+1)(y+1) = 22・3 … (1)
(y+1)(z+1) = 22・5 … (2)
(z+1)(x+1) = 3・5 … (3)
すべての式を掛け合わせます。
(x+1)2(y+1)2(z+1)2 = 24・32・72
両辺が平方数なので、平方根を取ります。
(x+1)(y+1)(z+1) = ±22・3・7 … (4)
※右辺に±をつけることを忘れないように。
(4)を、(1)、(2)、(3)それぞれで割ると、
{(x+1)(y+1)(z+1)}/{(x+1)(y+1)} = ±22・3・5/(22・3) ⇒ z+1 = ±5 ⇒ z = ±5-1
{(x+1)(y+1)(z+1)}/{(y+1)(z+1)} = ±22・3・5/(22・5) ⇒ x+1 = ±3 ⇒ x = ±3-1
{(x+1)(y+1)(z+1)}/{(z+1)(x+1)} = ±22・3・5/(3・5) ⇒ y+1 = ±4 ⇒ y = ±4-1
(1)、(2)、(3)の右辺はすべて正なので、
左辺は正同士の掛け算か、負同士の掛け算となります。
答え
(x, y, z) = (2, 3, 4), (-4, -5, -6)
いかがだったでしょうか。
問題1は足して、引く。
問題2は掛けて、割る。
と演算は違っていても、アプローチ自体はそれほど違いはなかったかと思います。
3式以上あるような連立方程式を解こうとすると、2式で考えて、そこから導き出されたものを、残りの式に代入して、というような手順を踏む場合が多いので、その方法に囚われすぎていると、今回のような問題は面倒に感じることでしょう。
問題1は三元一次方程式の連立、問題2は三元二次方程式の連立となっているので、一次方程式であるから解は1つ、二次方程式であるから解は2つ、あるだろうと考えないといけません。
途中の注意書きにも書いたとおり、平方根を取ったら、±を付けるということを忘れてしまいがちですが、忘れてしまったとしても、解が1は見つかった、検算して不具合が出ないので、それが正しいと思い込んでしまう可能性もあります。
慣れも大事なんですが、ケアレスミスは避けたいですよね。
ではでは