午後のひとときに、図形問題を解いてみる。
問題
ABCはAを頂角とする二等辺三角形で、
内部に点Pを取り、各辺に垂線の足を下ろすと、
図の通りとなった。
ABの長さを求めよ。
シンキングタ～イム
皆さん、どのようなアプローチで解かれたでしょうか。
実は小学4年生でも解ける問題となっております。
指定されている長さが素数となっているのは、私の趣味です。
まぁ、それはおいといて、
図形問題と言ったら補助線です。
的確な補助線が引ければ、自ずと道は開かれます。
まずは、線分DPをP側に伸ばして、ACとの交点をGとし、
Gを通り、線分ABに平行な線を引き、それぞれの交点をH、Iとする。
GI//ABより、三角形ABCが二等辺三角形より、三角形GICも二等辺三角形となり、
PE = PH
DC = DI
ということが解り、
FH = 37-13 = 24
BI = 43-17 = 26
となる。
続いて、Iを通り、FPに平行な線を引き、ABとの交点をJとする。
中学生以上ならば、三平方の定理を使ったり、有名なピタゴラス三角形より、JBの長さが解る。
三平方の定理より、
JB = √262-242 = √676-576 = √100 = 10
IJ：IB = 24：26 = 12：13
ということで、5：12：13のピタゴラス三角形なので、
JB = 10
小学生ならば、三角形IJBと同じものをあと3つ用意して、1辺が26の正方形を作る。
今どきの小学校では英語も習うようなので、
JB = xとおいて、
外枠の正方形から、4つの直角三角形を引いたものは、内枠の正方形ということが図より解り、
26×26-4×(24×x÷2) = (24-x)×(24-x)
676-48×x = 576-2×24×x+x×x
x×x = 100
x = 10
と求まる。
BCの中点をMとすると、
BM = (43+17)/2 = 30
⊿ABM ∽ ⊿IBJより、
26×30÷10 = 78
答え 78cm
おそらく、高校生も中学生も小学生も、このアプローチの仕方が一番手っ取り早いかと思われます。
他にも解法がありましたら、コメントにてお待ちしております。
ではでは