午後のひとときに、図形問題を解いてみる。
問題
ABCDとEFGHは合同な正方形。
BJ=15, BK=20, NO=12のとき、
正方形の一辺の長さを求めよ。
シンキングタ～イム
図形問題ですが、今回は補助線を引けば簡単なのか、ちょっと解りません。
まず、図形として解ることは、互いの正方形からはみ出した部分は、全て相似な直角三角形であり、辺の比が3：4：5のピタゴラス三角形であることですね。
また、正方形EFGHをFG方向にスライドしたとして、三角形BJKと三角形DNOが崩れないかぎり、三角形BJKと三角形DNOの面積の和は一定です。
これは4組の対角にある三角形に対しても同じです。
こういったことを念頭に置いて、代数的にゴリゴリと解いてみましょうか。
正方形の一辺の長さをx、線分AIを4aとおく。
AP = 3a
IP = 5a
IJ = x-4a-15
EI = 4×(x-4a-15)/5 = (4x-16a-60)/5
PH = x-(4x-16a-60)/5-5a = (5x-4x+16a+60-25a)/5 = (x-9a+60)/5
OD = 4×12/5 = 48/5
PO = x-3a-48/5
POとPHの関係から、
3×PO = 5×PH
より、
3×(x-3a-48/5) = x-9a+60
3x-9a-144/5 = x-9a+60
2x = 60+144/5
2x = 444/5
x = 222/5
答え 222/5
ではでは