Quantcast
Viewing all articles
Browse latest Browse all 5376

どっちが大きい?

午後のひとときに、数学の図形問題の大小比較を解いてみる。

Image may be NSFW.
Clik here to view.


問題1
図のように、正方形に内接する正三角形があり、
正方形と円がそれぞれ接している。
正方形と円のどちらの面積が大きい?

問題2
図のように、正方形の間取りで、正三角形の壁があり、
立方体と球がそれぞれ接している。
立方体と球のどちらの体積が大きい?


シンキングタイム


図はかなり正確に描かれているが、大小関係までは目視では解らないレベルの差だと思われます。

正方形や立方体は辺の長さ、円や球は半径が求まれば、面積も体積も求まります。

内接する正方形の1辺を1とすると、その下の30˚、60˚の直角三角形の短辺が1となって、長辺は3
外接する正方形の1辺を1とすると、内接する正方形の1辺は1/(1+3) = (3-1)/2

方や、円の半径を1とすると、
以前やった、図形的な半角の公式のアプローチで、30˚、15˚とやっていく

Image may be NSFW.
Clik here to view.


より、外接する正方形の1辺を1とすると、円の半径は1/(2+3+1) = (3-3)/6

内接する正方形の面積は、
(2-3)/2

方や、内接する円の面積は、
(2-3)π/6

どちらも(2-3)は共通なので、
1/2とπ/6の大小関係を比べればよく、
1/2 = 3/6
π > 3
なので、円の面積の方が大きい。

解1 円の面積の方が大きい


立方体の体積は、
(33-5)/4 ≒ 0.0490381056

球の体積は、
(9-53)π/27 ≒ 0.0395312377 

となり、立方体の体積の方が大きい。

解2 立方体の体積の方が大きい


単純な図形同士なのに、絶妙な大小関係でしたね。


ではでは

 

 


Viewing all articles
Browse latest Browse all 5376

Trending Articles