午後のひとときに、数学の図形問題の大小比較を解いてみる。
問題1
図のように、正方形に内接する正三角形があり、
正方形と円がそれぞれ接している。
正方形と円のどちらの面積が大きい？
問題2
図のように、正方形の間取りで、正三角形の壁があり、
立方体と球がそれぞれ接している。
立方体と球のどちらの体積が大きい？
シンキングタイム
図はかなり正確に描かれているが、大小関係までは目視では解らないレベルの差だと思われます。
正方形や立方体は辺の長さ、円や球は半径が求まれば、面積も体積も求まります。
内接する正方形の1辺を1とすると、その下の30˚、60˚の直角三角形の短辺が1となって、長辺は√3。
外接する正方形の1辺を1とすると、内接する正方形の1辺は1/(1+√3) = (√3-1)/2
方や、円の半径を1とすると、
以前やった、図形的な半角の公式のアプローチで、30˚、15˚とやっていく
より、外接する正方形の1辺を1とすると、円の半径は1/(2+√3+1) = (3-√3)/6
内接する正方形の面積は、
(2-√3)/2
方や、内接する円の面積は、
(2-√3)π/6
どちらも(2-√3)は共通なので、
1/2とπ/6の大小関係を比べればよく、
1/2 = 3/6
π > 3
なので、円の面積の方が大きい。
解1 円の面積の方が大きい
立方体の体積は、
(3√3-5)/4 ≒ 0.0490381056
球の体積は、
(9-5√3)π/27 ≒ 0.0395312377
となり、立方体の体積の方が大きい。
解2 立方体の体積の方が大きい
単純な図形同士なのに、絶妙な大小関係でしたね。
ではでは