午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
正の整数nが、異なる素数P、Q、Rと、
整数p、q、r
p≧q≧r≧0
によって、
n = Pp・Qq・Rr
と表されるとき、
nのすべての約数の積がn6と等しいとき、
(p, q, r)の組をすべて求めよ。
シンキングタ～イム
約数の総積を使うのですが、知らない人が多いかと思うので、導出しながら解きます。
Pp・Qq・Rr
P、Q、Rは異なる素数より、P、Q、Rは互いに素であり、nの約数の個数mは、
m = (p+1)(q+1)(r+1)
と求まります。
これは、p、q、rの取りうる範囲が、0乗を含むために、+1されており、それぞれの組み合わせなので、掛け合わせます。
ここで、m個あるすべての約数を掛けた値、つまり約数の総積をxとおくと、
x = (P0・Q0・R0)・(P0・Q0・R1)・…・(P0・Q0・R(r-1))・(P0・Q0・Rr)・
(P0・Q1・R0)・(P0・Q1・R2)・…・(P0・Q1・R(r-1))・(P0・Q1・Rr)・
…
(P0・Q(q-1)・R0)・(P0・Q(q-1)・R2)・…・(P0・Q(q-1)・R(r-1))・(P0・Q(q-1)・Rr)・
(P0・Qq・R0)・(P0・Qq・R2)・…・(P0・Qq・R(r-1))・(P0・Qq・Rr)・
(P1・Q0・R0)・(P1・Q0・R1)・…・(P1・Q0・R(r-1))・(P1・Q0・Rr)・
…
(P(p-1)・Qq・R0)・(P(p-1)・Qq・R2)・…・(P(p-1)・Qq・R(r-1))・(P(p-1)・Qq・Rr)・
(Pp・Qq・R0)・(Pp・Qq・R2)・…・(Pp・Qq・R(r-1))・(Pp・Qq・Rr)
といったように表わせ、
これの逆順とを掛け合わせると、
x2 = {(P0・Q0・R0)・(Pp・Qq・Rr)}・{(P0・Q0・R1)・(Pp・Qq・R(r-1))}・…・
{(Pp・Qq・R(r-1))・(P0・Q0・R1)}・{(Pp・Qq・Rr)・(P0・Q0・R0)}
= (Pp・Qq・Rr)m
となり、
x = nm/2
となります。
これがnの約数がm個のときの約数の総積xの公式となります。
題意より、
nm/2 = n6
m/2 = 6
m = 12
と約数の個数が12個とも泊まり、
p, q, rの組み合わせを考えると、
(p+1)(q+1)(r+1) = 12
p≧q≧r≧0
より、
(p, q, r) = (11, 0, 0), (5, 1, 0), (3, 2, 0), (2, 1, 1)
ではでは