午後のひとときに、数学の整数問題を解く。
問題
a2+b2 = 1224 を満たす自然数(a,b)をすべて求めよ。
シンキングタ～イム
整数問題の定石と言えば、
- 整数＝積の形にする。
- 不等式で範囲を絞り込む。
- 倍数や余りに着目する。
です。
a2+b2 = 1224
の定数1220が右辺なので、左辺を積の形にするのは難しいですね。
不等式で範囲を絞るにも、
a≧bとして、
352 = 1225 > 1224
なので、
34≧a≧b≧1
とするくらいでしょうか。
というわけで、倍数や余りに着目するということが今回の問題の肝ということだと考えられます。
1224は3の倍数なので、
法を3として、
余りの可能性は0、1、2の3つですが、
3k, 3k+1, 3k+2
をそれぞれ2乗すると、
(3k)2 = 9k2 ≡ 0 (mod 3)
(3k+1)2 = 9k2+6k+1 ≡ 1 (mod 3)
(3k+2)2 = 9k2+12k+4 ≡ 1 (mod 3)
となり、
0+0 ≡ 0 (mod 3)
しか考えられず、
a、bは3の倍数であることが解ります。
a = 3k、b=3l、k、lは自然数とおく。
(3k)2+(3l)2 = 1224
9k2+9l2 = 1224
k2+l2 = 136
136は2の倍数なので、
法を2として、
余りの可能性は0、1の2つですが、
2m、2m+1
をそれぞれ2乗すると、
(2m)2 = 4m2 ≡ 0 (mod 4)
(2m+1)2 = 4m2+4m+1 ≡ 1 (mod 4)
となり、
0+0 ≡ 0 (mod 2)
しか考えられず、
k、lは2の倍数であることが解ります。
k=2m、l=2n、m、nは自然数とおく。
(2m)2+(2n)2 = 136
4m2+4n2 = 136
m2+n2 = 34
ここで、範囲を絞ってみましょう。
62 = 36 > 34
より、
m、nの取りうる値は、1、2、3、4、5と限られます。
mについて場合分けすると、
m = 1のとき、n2 = 34-1 = 33
m = 2のとき、n2 = 34-4 = 30
m = 3のとき、n2 = 34-9 = 25
m = 4のとき、n2 = 34-16 = 18
m = 5のとき、n2 = 34-25 = 9
nが自然数となるmは、3、5のとき。
よって、
(m, n) = (3, 5), (5, 3)
(k, l) = (6, 10), (10, 6)
(a, b) = (18, 30), (30, 18)
答え (a, b) = (18, 30), (30, 18)
ではでは