午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
16cos2(x)+16sin2(x) = 10
0≦x＜2π
xを求めよ。
シンキングタ～イム
指数に三角関数を持ってくるとは、なかなか面倒なことをやりますね。
logを取りたいところだけれども、ぐっと我慢です。
cos2(x)とsin2(x)
をみたら、
cos2(x)+sin2(x) = 1
を使って、どちらか一方に統一しましょうか。
16cos2(x)+161-cos2(x) = 10
16cos2(x)+161/16cos2(x) = 10
16cos2(x) = t
とおくと、
t+16/t = 10
t2+16 = 10t
t2-10t+16 = 0
(t-2)(t-8) = 0
t = 2, 8
t = 2のとき、
16cos2(x) = 2
24cos2(x) = 21
4cos2(x) = 1
cos2(x) = 1/4
cos(x) = ±1/2
x = π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3
t = 8のとき、
16cos2(x) = 8
24cos2(x) = 23
4cos2(x) = 3
cos2(x) = 3/4
cos(x) = ±√3/2
x = π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6
∴
x = π/6, π/3, 2π/3, 5π/6, 7π/6, 4π/3, 5π/3, 11π/6
8個も解がありましたが、
8次方程式を解くよりは簡単でしたね。
別解
16cos2(x) = α
16sin2(x) = β
とおくと、
α+β = 10
αβ = 16cos2(x)・16sin2(x) = 16cos2(x)+sin2(x) = 161 = 16
これより、
t2-10t+16 = 0
となって、
以下同じ。
こちらのほうが楽ですね。
ではでは