午後のひとときに、数学の二重根号の外し方をいろいろと考えていく。
まず、二重根号とはなんぞや。というところから。
中学に入って数学を習うと、√という記号が出てくる。
中学の数学では、√同士の四則演算は習うが、√の中に√が入るような形は扱わないというか、避けて通っているかと思う。
つまり、高校の数学で初めて見る形かもしれない。
√a+√b
√a-√b
といったようなもので、これを単一の根号だけにする方法ということです。
最初にお断りしておくが、すべての二重根号が外せるかというとそうではないということ。
外せるものと外せないものがあるというのも知っておいてください。
解法1
√(√a+√b)2
√(√a-√b)2
のどちらかの形にする。
根号の中に着目すると、
(√a+√b)2 = a+b+2√ab
(√a-√b)2 = a+b-2√ab
ですから、この形に出来れば容易に外せますね。
例1
√2+√3の二重根号を外せ。
√2+√3 = √2+2√3/4
足して2、掛けて3/4になるのは、3/2と1/2なので、
= √(√3/2+√1/2)2 = √3/2+√1/2 = (√6+√2)/2
一番オーソドックスなやり方です。
解法2
根号の中身を4倍して4で割って、分母分子を分離して考える。
例2
√2+√3の二重根号を外せ。
√2+√3 = √(8+4√3)/4 = √8+2√12/2
足して8、掛けて12になるのは、6と2なので、
= √(√6+√2)2/2 = (√6+√2)/2
よく、中の根号の係数に2を付けたいが為に、2倍して2で割る方法が紹介されていますが、なぜわざわざ分母が無理数になるようにして、分母の有利化をする必要性を作ってしまうのか、甚だ疑問に思う。
最初から無理数にならないように分母分子を4倍すれば、分母の有理化はせずに済むので、よりスマートだと考えます。
解法3
共役な無理数を使い、
x = √a+√b
y = √a-√b
とおき、α2=(x+y)2 、β=xy を考え、
t2-αt+β=0
の2解がxとyとなることから導く。
β = xy = √a2-b
α2 = (x+y)2 = x2+y2+2xy = (a+√b)+(a-√b)+(2√a2-b) = 2a+2√a2-b
例3
√2+√3の二重根号を外せ。
x = √2+√3
y = √2-√3
とおき、α2=(x+y)2 、β=xy を考える。
β = xy = √22-3 = 1
α2 = (x+y)2 = 2+2+2xy = 4+2 = 6
x+y > 0 より、
α = √6
t2-αt+β = t2-√6t+1
解の公式に代入し、
t = (√6±√6-4)/2 = (√6±√2)/2
x = (√6+√2)/2
これらを覚えておけば、おそらく二重根号の外し方で戸惑うことはないかと思います。
ではでは