午後のひとときに、数学の問題の新たな解き方を紹介する。
問題
円周率πが3.05より大きいことを示せ。
という東大入試の有名な問題がある。
何度か様々な導き方を示したかと思います。
その中でも、
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のような方法をに近い解き方です。
まず、この図を使って解いてみましょう。
5×5の方眼に、半径5の1/4円を描き、円の中心を(0,0)としたときの、(3,4),(4,3)を通るように赤線のように引く。
ピタゴラスの定理より、赤線の長さは、
2×√12+32+√12+12 = 2√10+√2
√2 > 1.41
√5 > 2.23
より、
π > 2×(2√10+√2)/5 > 2×(6.2886+1.41)/5 = 3.07944
∴π > 3.05
という方法を紹介しました。
新たな解法は、5×5の方眼ではなく、17×17の方眼を使います。
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半径17の1/4円を描き、更に12×12の正方形を描きます。
ここで、正方形の斜辺の長さをピタゴラスの定理で求めると、
√122+122 = √288 < √172 = √289
と、1/4円の内側に正方形があることが解ります。
赤線の長さをピタゴラスの定理で求めると、
2×√122+52 = 2×√144+25 = 2×√169 = 26
よって、
π > 2×26/17 > 3.058
∴π > 3.05
ご丁寧に√の計算を書いたけれども、
2×12×12 = 288 < 17×17 = 289
5、12、13のピタゴラス三角形はある程度有名なので、13はすぐに解る。
有理数での近似なので、先の解法よりも楽ですよね。
本当に優秀な解法だと思います。
ではでは
