午後のひとときに数学を考えてみる。
皆さん、三角関数好きですか？
サイン、コサイン、タンジェント、…
いろいろな公式がありますよね。
加法定理や2倍角の公式なんてのは呪文のように覚えた人もいるでしょう。
今回は半角の公式について、代数的というよりも幾何的な側面からアプローチしてみようかと思います。
まずは図を見てください。
この図は右から少しずつ紐解いていくことで、半角の値を求めるのに役立ちます。
上段から行きましょうか。
三角定規の一つ、60˚と30˚の方を描きます。
短辺を1とすると、斜辺は2、長辺はピタゴラスの定理より√3
斜辺2を二等辺三角形の斜辺とするように底辺を伸ばして描きます。
すると、30˚の半分である15˚を底角とする二等辺三角形となりますね。
底角15˚の底辺の長さはピタゴラスの定理より、
√12+(2+2√3)2 = √6+√2
これを斜辺とする二等辺三角形を描く…
といったように、底辺の長さが和で表されて行きますね。
tan(π/6) = 1/√3 = √3/3
tan(π/12) = 1/(2+√3) = 2-√3
tan(π/24) = 1/(√6+√2+2+√3) = -2+√6-√5-2√6
といったように容易に求めることが出来ます。
下段も同様で、もう一つの三角定規を描きます。
tan(π/4) = 1
tan(π/8) = 1/(√2+1) = √2-1
tan(π/16) = 1/(√4+2√2+√2+1) = -1-√2+√2(2+√2)
tan(π/32) = 1/(√2(2+√2)(2+√2)+√4+2√2+√2+1)
もう有理化が面倒になってきたので、この辺でやめておく。
このように、よく登場する30˚、60˚、45˚の半角、更に半角などを求められますね。
代数的に言えば、加法定理から倍角の公式、倍角の公式から半角の公式へと導出は出来ますが、丸暗記するのも有りは有りなのですが、幾何的なこんなアプローチもあるということを頭の片隅にでも入れておくのも良いかと思います。
そもそも、三角関数は幾何学、測量などに使われる目的でしたので、幾何との相性は良いので、代数一辺倒ではなく、幾何も交えると理解度も高まりますね。
ではでは