午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
オイラー予想とは、フェルマーの最終定理を、更に拡張した予想である。
フェルマーの最終定理
xn+yn=zn
3以上の自然数nを満たす、自然数の組(x,y,z)は存在しない。
というもので、
アンドリュー・ワイルズによって証明されました。
オイラー予想は、
x3 + y3 = z3
w4 + x4 + y4 = z4
v5 + w5 + x5 + y5 = z5
…
x1n + x2n + x3n + …xn-1n = xnn
が存在しないと予想した。
しかし、この予想に反するものが200年後に見つかってしまいます。
問題
275 + 845 + 1105 + 1335 = n5
を満たすnを手計算のみで求めよ。
シンキングタ～イム
この問題、電卓を使えば簡単に求まってしまうが、手計算でのみ求められるところが数学の醍醐味でもある。
まずは大雑把に絞り込みをしてみます。
左辺の最大の項に着目して、それよりも小さな項を足していることから、
275 + 845 + 1105 + 1335 = n5 > 1335
ですね。
次に、左辺の項数が4項なので、最大の項の4倍と比較して、
275 + 845 + 1105 + 1335 = n5 < 4×1335
ですね。
つまり、
1335 < n5 < 4×1335
133 < n < 41/5×133
のようになりますね。
41/5
を求めるのは面倒なので、これも不等式で挟み込んでみましょう。
41/5 = 22/5 < 22.5/5 = 21/2 < 1.42
と大雑把に挟み込んで、
133 < n < 1.42×133
134 ≤ n ≤ 188
と絞られました。
続いて、剰余を考えます。
１5 + 05 + 05 + 15 ≡ １5 + １5 ≡ 2 ≡ 0 (mod 2)
05 + 05 + 25 + 15 ≡ (-1)5 + 15 ≡ 0 (mod 3)
25 + (-1)5 + 05 + (-2)5 ≡ (-1)5 ≡ 4 (mod 5)
これくらいで十分だろうか。
mod 2とmod 5より、nは10で割ると余りが4である、つまり一の位が4であることが解ります。
mod 2とmod 3より、nは6の倍数であることが解ります。
上記範囲より、
144、174まで絞られました。
もう少し条件を増やす必要がありますね。
(-1)5 + 05 + (-2)5 + 05 ≡ -1-32 ≡ 2 (mod 7)
mod 2とmod 7より、nは14で割ると4余ることが解ります。
よって、
n=144
となります。
他にも、いくつか反例が見つかっています。
958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814
26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734
555 + 31835 + 289695 + 852855 = 853595
などなど、見つかっております。
これにより、オイラー予想は否定的に証明されました。
簡単にいうと、予想が外れたということです。
ではでは
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