午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
上図のように、
∠C=90˚
BC=CD=DE=EF=FG=GA=1
のとき、
三角形ABCの面積を求めよ。
シンキングタ～イム
まず、
∠BAC=θとおくと、
⊿GAFはGを頂角とし、底角θの二等辺三角形より、
頂角の外角に当たる∠FGE=θ+θ=2θとなる。
⊿FEGはFを頂角とし、底角2θの二等辺三角形より、
∠DFE=2θ+2θ-θ=3θとなる。
同様に、
⊿EFDはEを頂角とし、底角3θの二等辺三角形より、
∠DEF=3θ+3θ-2θ=4θとなる。
⊿CDBはCを頂角とし、底角4θの二等辺三角形より、
∠BDC=4θ+4θ-3θ=5θ=∠DBC
よって、
θ+5θ=90˚
θ=90˚/6=15˚
とθが求まる。
これより、底辺が1/tan(15˚)=cot(15˚)、高さが1の直角三角形の面積1/(2tan(15˚))=cot(15˚)/2を求めればよい。
tanの半角の公式
tan2(θ/2)=(1-cosθ)/(1+cosθ)
より、
cot2(θ/2)=(1+cosθ)/(1-cosθ)
cos(30˚)=√3/2
を代入し、
cot2(15˚)=(1+(√3/2))/(1-(√3/2))=(2+√3)2/(4-3)=(2+√3)2
cot(15˚)=2+√3
答え
(2+√3)/2
ではでは
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