午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
上図のように、
⊿ABCは正三角形、
□DEFGは正方形
△GAFはAを頂角とする二等辺三角形
が配置されている。
θ=∠AFB を求めよ。
シンキングタ~イム
題意より、
GA=GDとなり、
△GADはGを頂角とする二等辺三角形である。
仮に、∠GAD=∠GDA=xと置く。
反時計回りに、
∠BDE=180-90-x=90-x
∠BFE=360-270-60-(90-x)=x-60
時計回りに、
∠AGD=180-2x
∠AGF=180-2x+90=270-2x
∠AFG=(180-(270-2x))/2=(2x-90)/2=x-45
∠AFE=90-(x-45)=135-x
よって、
θ=x-60+135-x=75
答え
θ=75˚
もっと良い解法があるかもしれませんが、
ある角をxとすると、ドミノ倒しのように値が定まり、
θを求めるとxが相殺されてしまいました。
つまりθはxに依存しないということですね。
不思議ですよね。
作図を考えると、
正三角形を描いて、頂点Aの内角を2等分線の2等分線と底辺と結んだ点をFと置く。
Eが⊿ABCの内部に、Gが⊿ABCの外部になるよう、点Dを線分AB上に適当に取り、
FDを結び、中点Hを求め、xの増加量、yの増加量から垂直線を引き、Hを中心に半径HFの円を描いて、交点を結んで正方形DEFGを描く。
最後にAGを結べば出来上がり。
プログラミングでやるにはそれほど面倒ではないし、実際の作図でも、定規とコンパスがあれば簡単に作図出来るだろう。
別解
点Gを中心として、
GA=GD=GFより、
A、D、Fは同一円周上に存在する。
DFを弧とする
中心角が90˚より、
円周角である∠DAFは45˚となり、
θ=180-45-60=75
答え
θ=75˚
中心角と円周角を習っているならば、こちらの方がエレガントですね。
ではでは
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