午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
√4444……44-88…8
4444……44は4が2n個続く数、88…8は8がn個続く数とするときの値を求めよ。
シンキングタ～イム
解答
こういった問題は、何かしらの規則性があるものが多い。
というか規則性が皆無だとすると、おそらく解けないだろう。
n=1から順番に試してみる。
n=1のとき、
√44-8=√36=6
n=2のとき、
√4444-88=√4356=66
n=3のとき、
√444444-888=√443556=666
どうやら、答えは6がn個続く数になると予想出来る。
では、厳密に数学として値を求めるにはどうしたらよいか。
ここでレピュニット数が登場します。
1がn個続く数をrepeat unitからrep unitとなりレピュニット数と呼びます。
n桁のレピュニット数をR[n]とすると、数式にすると
R[n]=(10n-1)/9
となります。
つまり、問題の値は、
√4R[2n]-8R[n]=√4*(102n-1)/9-8*(10n-1)/9
の様に表せ、計算していくと、
=(2/3)√(102n-1)-2*(10n-1)
=(2/3)√102n-2*10n+1
=(2/3)√(10n-1)2
=(2/3)(10n-1)
=(6/9)(10n-1)
=6*(10n-1)/9
=6*R[n]
答え
6がn個続く数
レピュニット数の式を知っていれば、ちゃんと計算出来ましたね。
10のn乗は、先頭が1で0がn個続く数で、そこから1を引くと、9がn個続く数が出来て、それを9で割れば1がn個続く数が出来上がる。
そんなに難しいことではないのですが、知っているのと知らないのとでは、数学的な表現に雲泥の差が出てしまいますね。
まぁ、このブログでも度々レピュニット数は扱ってきたので、探してみて下さい。
ではでは
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