婚約数、友愛数、社交数を求めたが…

婚約数、友愛数、社交数を、プログラミングして、数百個程度求めることが出来ました。

この中では、友愛数が密度が高いのか、目標の1000個に達したが、他は時間がかかりすぎるので、断念した。

後はネットの力を頼ることにする。
それぞれの数は何個くらいまでの情報がネットにあるのだろうか。

まずは、4122番目の婚約数
婚約数の定義を簡単に示すと、
σ(a)-1-a=b
σ(b)-1-b=a
です。
σ関数は、約数の総和を求める関数です。

4122: (9988874492064,19009429497695)
検算してみると、
a=9988874492064=2^5 * 3 * 13 * 47 * 433 * 547 * 719
σ(a)-1-a=(1+2+4+8+16+32) * (1+3) * (1+13) * (1+47) * (1+433) * (1+547) * (1+719) - 1 - a
=19009429497695=b

b=19009429497695=5^1 * 7^1 * 13^1 * 41^1 * 223^1 * 269^1 * 16987^1
σ(b)-1-b=(1+5) * (1+7) * (1+13) * (1+41) * (1+223) * (1+269) * (1+16987) - 1 - b
=9988874492064=a

続いて、190527番目の友愛数
友愛数の定義を簡単に示すと、
σ(a)-a=b
σ(b)-b=a
です。

190527: (9999949976270865,10937414536957935)
検算してみると、
a=9999949976270865=3^2 * 5 * 13 * 17 * 19 * 157 * 337085279
σ(a)-a=(1+3+9) * (1+5) * (1+13) * (1+17) * (1+19) * (1+157) * (1+337085279) - a
=10937414536957935=b

b=10937414536957935=3^2 * 5 * 13 * 107 * 157 * 167 * 283 * 23549
σ(b)-b=(1+3+9) * (1+5) * (1+13) * (1+107) * (1+157) * (1+167) * (1+283) * (1+23549) - b
=9999949976270865=a

最後に5410番目の社交数（本当に5410番目かは不明です。）
社交数の定義は、友愛数の拡張で、友愛数は2個組限定ですが、社交数は3個組以上です。
5410番目の社交数は4個組ですので、簡単に示すと、
σ(a)-a=b
σ(b)-b=c
σ(c)-c=d
σ(d)-d=a
ということになります。

5410: 4: (728712583206303398190242618687042113752467214811108993257424171860528594567924190924670925,777912361559506017106924016411985798162174755045418568804828526237301132540795410854017075,830433913470334951680671459201718136927391998068006241413850347605300258889341926931859405,777912361559506017106924016411985821960528418729797387983992973984632366735221369340524595)
検算してみると、
a=728712583206303398190242618687042113752467214811108993257424171860528594567924190924670925
=3^5 * 5^2 * 19 * 31 * 41 * 219707 * 302203120345042452118191021599 * 74811436986632321880273947630151066444616891487
σ(a)=(1+3+9+27+81+243) * (1+5+25) * (1+19) * (1+31) * (1+41) * (1+219707) * (1+302203120345042452118191021599) * (1+74811436986632321880273947630151066444616891487) - a
=777912361559506017106924016411985798162174755045418568804828526237301132540795410854017075=b

b=777912361559506017106924016411985798162174755045418568804828526237301132540795410854017075
=3^5 * 5^2 * 19 * 31 * 41 * 219707 * 24134668888891652793753744940710524377095337065967694437989536691048774192767
σ(b)-b=(1+3+9+27+81+243) * (1+5+25) * (1+19) * (1+31) * (1+41) * (1+219707) * (1+24134668888891652793753744940710524377095337065967694437989536691048774192767) - b
=830433913470334951680671459201718136927391998068006241413850347605300258889341926931859405=c

c=830433913470334951680671459201718136927391998068006241413850347605300258889341926931859405
=3^4 * 5 * 31 * 43 * 47 * 641 * 2341855521657031 * 322605134371499255501969886869 * 67582249501685963413963728527115449
σ(c)-c=(1+3+9+27+81) * (1+5) * (1+31) * (1+43) * (1+47) * (1+641) * (1+2341855521657031) * (1+322605134371499255501969886869) * (1+67582249501685963413963728527115449) - c
=777912361559506017106924016411985821960528418729797387983992973984632366735221369340524595=d

d=777912361559506017106924016411985821960528418729797387983992973984632366735221369340524595
=3^4 * 5^1 * 31 * 43 * 47 * 641 * 2341855521657031*20423469187068442175351325869179832174429376379362479247163777619
σ(d)-d=(1+3+9+27+81) * (1+5) * (1+31) * (1+43) * (1+47) * (1+641) * (1+2341855521657031) * (1+20423469187068442175351325869179832174429376379362479247163777619) - d
=728712583206303398190242618687042113752467214811108993257424171860528594567924190924670925=a

さて、私が現時点で調べ上げた最大の婚約数、友愛数、社交数なのですが、求めた最大値の桁数がバラバラですよね。

例えば、社交数は90桁までのデータをネット上に発見出来たが、拡張前の友愛数は16桁までのデータと極端に少ない。

プログラミングの観点からいうと、友愛数を求めるほうが、社交数を求めるよりも簡単です。

なぜかというと、社交数は3個組以上であって、上限が28個組であるかは、未解決な問題なのです。
その点で、2個組と限定している友愛数は、社交数を探すよりも簡単だということです。

もっと言えば、社交数を求めるプログラムで3個組以上にとらわれず、2個組以上を求めれば、一緒に友愛数も求まりますね。

婚約数と友愛数は、計算量で言えば、1を引くか引かないかだけの違いなので、ほぼ同じと考えて良い。

友愛数が16桁まで探索出来るのであれば、婚約数も16桁まで探索しても良いだろう。

ここまでのデータのばらつきがあるというのも不思議な感じがしますね。

さて、婚約数、友愛数、社交数、もうひとつ、完全数も入れておこうかな。

新たな完全数が見つかると、数学界隈では多少なりともニュースになるが、婚約数、友愛数、社交数は、現在の最大値が解っていないので、ニュースにすらならない。

ここにデータをテキストで乗せることは、文字数制限の関係で出来ないので、ある程度興味がありそうな部分を表にしてみる。

まずは桁数における組数です。

完全数は、
6
28
496
8128
33550336
8589869056
137438691328
2305843008139952128
2658455991569831744654692615953842176
191561942608236107294793378084303638130997321548169216
しか見つかっていませんので、表にまとめるまでもないですね。

婚約数
婚約数(a,b)をa<bとすると、a<10^14までのデータが完備されています。
桁数毎のa、bの個数をまとめます。

10^n	a	b
2	1	1
3	1	1
4	6	4
5	1	3
6	8	7
7	29	24
8	33	33
9	101	95
10	224	196
11	478	434
12	1064	955
13	2176	1944
14	0	425

婚約数が無限に存在するのかは、未解決問題です。

婚約数は現時点では偶数と奇数のペアしか見つかっていません。
偶数同士、奇数同士が存在するかは未解決問題。
では、a、bの一の位に着目して、データを取ってみる。

0	1441	17.48%
1	119	1.44%
2	122	1.48%
3	91	1.10%
4	2318	28.12%
5	2689	32.62%
6	103	1.25%
7	101	1.23%
8	138	1.67%
9	1122	13.61%

では、どのような組み合わせが多いのだろうか。

4	5	2315	56.16%
0	9	1120	27.17%
0	5	264	6.40%
8	1	93	2.26%
2	7	82	1.99%
6	3	72	1.75%
8	5	42	1.02%
2	5	40	0.97%
6	5	28	0.68%
0	1	23	0.56%
0	3	18	0.44%
0	7	16	0.39%
4	1	2	0.05%
8	9	2	0.05%
6	7	2	0.05%
4	7	1	0.02%
6	1	1	0.02%
8	3	1	0.02%
2	1	0	0.00%
2	3	0	0.00%
2	9	0	0.00%
4	3	0	0.00%
4	9	0	0.00%
6	9	0	0.00%
8	7	0	0.00%

友愛数
友愛数(a,b)をa<bとすると、a<10^17までデータが完備されています。
桁数毎のa、bの個数をまとめます。

10^n	a	b
3	1	1
4	4	4
5	8	8
6	29	27
7	66	60
8	128	131
9	350	333
10	841	827
11	1913	1870
12	4302	4206
13	9877	9675
14	21848	21454
15	47695	46797
16	103465	101702
17	0	3432

友愛数が無限に存在するのかは、未解決問題です。

友愛数は現時点では偶数同士と奇数同士のペアしか見つかっていません。
偶数と奇数のペアが存在するかは未解決問題。
では、a、bの一の位に着目して、データを取ってみる。

0	62142	16.31%
1	7405	1.94%
2	39945	10.48%
3	7089	1.86%
4	39435	10.35%
5	130570	34.27%
6	39510	10.37%
7	7307	1.92%
8	40116	10.53%
9	7535	1.98%

5が1/3以上を占めており、続いて0が1/6程度、続いて偶数が10%ちょい、奇数が2%ちょい足りないという分布です。

これを踏まえて、どのような組み合わせが多いのだろうか。

5	5	63801	33.49%
4	6	36926	19.38%
2	8	36757	19.29%
0	0	29196	15.32%
1	9	6214	3.26%
3	7	6144	3.22%
0	8	1160	0.61%
0	2	1053	0.55%
0	6	959	0.50%
1	5	828	0.43%
5	9	817	0.43%
5	7	747	0.39%
6	8	696	0.37%
2	6	599	0.31%
0	4	578	0.30%
3	5	576	0.30%
2	2	519	0.27%
4	8	519	0.27%
2	4	498	0.26%
8	8	492	0.26%
4	4	457	0.24%
6	6	165	0.09%
9	9	133	0.07%
3	9	129	0.07%
1	3	120	0.06%
7	9	109	0.06%
1	7	109	0.06%
7	7	99	0.05%
1	1	67	0.04%
3	3	60	0.03%

社交数
社交数(a,b,c,…)をa=min(b,c,…)とすると、a<10^90まで完備されています。

まずは社交数特有の個組の個数です。
5410組のデータの内訳です。

個組	組数
4	5398
5	1
6	5
8	4
9	1
28	1

圧倒的に4個組が多く、5、6、8、9、28個組は少ないですね。
3個組、7個組、10～27個組、29個組以上の社交数が存在するかは、未解決問題です。

各桁毎のaおよびa,b,c,…の個数をまとめる。

10^n	a	a,b,c,…
5	2	17
6	0	16
7	5	20
8	5	20
9	5	17
10	12	64
11	10	35
12	4	25
13	14	65
14	19	70
15	8	43
16	15	60
17	8	32
18	2	8
19	6	24
20	6	24
21	9	32
22	11	42
23	10	42
24	16	67
25	27	99
26	25	110
27	40	149
28	36	154
29	54	200
30	71	294
31	94	375
32	104	408
33	136	550
34	157	622
35	190	763
36	219	860
37	216	876
38	249	999
39	236	943
40	235	924
41	231	931
42	281	1114
43	267	1082
44	218	877
45	200	804
46	187	743
47	199	803
48	184	736
49	173	685
50	148	602
51	126	498
52	124	496
53	111	449
54	103	416
55	83	325
56	63	257
57	72	293
58	60	237
59	58	232
60	35	140
61	31	126
62	23	93
63	31	124
64	18	72
65	23	88
66	22	92
67	11	44
68	7	28
69	11	44
70	10	40
71	9	36
72	7	28
73	5	17
74	4	16
75	5	23
76	2	8
77	1	3
78	3	13
79	1	4
80	0	0
81	2	8
82	0	0
83	1	4
84	0	0
85	0	0
86	1	4
87	2	8
88	0	0
89	0	0
90	1	4