コマ大数学科の次回の問題
問題
長さ50cmの板に10ヵ所だけ目盛りをつけて
1cmから50cmまで全ての長さを測れるような
ものさしを作りなさい。
ただし、目盛りは1cm単位とします。
この問題によく似た問題で、小説「笑わない数学者」に登場するビリヤードの問題というものがある。
今回の問題は1cmから50cmまで測れるようなパターンを導き出さないといけないのだが、手計算で求めることは出来るのだろうか。
0 < m < n < 11
0 < a[m] < a[n] < 50
というレンジにおいて、
a[m], a[n], 50-a[m], 50-a[n], a[n]-a[m]
という値が、1から49までをくまなく網羅できるかということになる。
表計算ソフトでもあれば、どうにかできそうだが、私はCでプログラミングしてみた。
とりあえず答えを導き出してみた。
{ 1 3 6 13 20 27 34 41 45 49 }
{ 1 5 9 16 23 30 37 44 47 49 }
{ 3 6 10 14 18 22 27 47 48 49 }
※4パターンを導き出したが、1番目と4番目、2番目と3番目は左右反転すると同じパターン。
私の正解チーム予想は、コマ大のみです。
どう考えても手計算で時間内に求めることは出来ないと考えました。
その点、コマ大チームは時間だけはあるので、唯一可能性があるのではないだろうか？
さて、10ヵ所未満で1cmから50cmまで測れるものさしを作れるのだろうか？
9ヵ所の場合
a[m], a[n], 50-a[m], 50-a[n]: 2*9=18種
a[n]-a[m]: 9*8/2=36種
のべ54種なので可能性あり
8ヵ所の場合
a[m], a[n], 50-a[m], 50-a[n]: 2*8=16種
a[n]-a[m]: 8*7/2=28種
のべ44種なので可能性なし
{ 1 2 3 23 28 32 36 40 44 47 }