午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。
問題
sin(3x)=cos(2x)
0≦x≦π
xを求めよ。
シンキングタ～イム
解法はいくつか考えられるので、それぞれの方法を示してみる。
解法1
3倍角、2倍角の公式を使う。
cosの2倍角はcosとsinの両方で表せるので、sinで統一する。
sin(3x)=cos(2x)
3sin(x)-4sin3(x)=1-2sin2(x)
4sin3(x)-2sin2(x)-3sin(x)+1=0
のように3次方程式で表せる。
因数分解出来れば良いが、出来なければカルダノの解法を使うことになる。
幸い、sin(x)=1で因数分解出来る。
(sin(x)-1)(4sin2(x)+2sin(x)-1)=0
よって、
sin(x)-1=0 …(1)
4sin2(x)+2sin(x)-1=0 …(2)
のxを求めればよい。
(1)
sin(x)=1
x=π/2+2nπ
0≦x≦πより、
x=π/2
(2)
sin(x)=(1±√5)/4
0≦x≦πより、
0≦sin(x)なので、
sin(x)=(1+√5)/4
黄金比の半分なので、正五角形や五芒星などの図から解を見つけることが出来、
x=π/10, 9π/10
∴
x=π/10, π/2, 9π/10
sin(18˚)を知っているかということになってしまうが、3倍角、2倍角から求めることが出来た。
解法2
周期性を使う。
解法1と同様、sinに統一する。
sin(3x)=cos(2x)=sin(π/2-2x)
sin(3x)-sin(π/2-2x)=0
sin(3x)+sin(2x-π/2)=0
和積の公式を使う。
2sin((5x-π/2)/2)cos((x+π/2)/2)=0
sin((10x-π)/4)cos((2x+π)/4)=0
sin((10x-π)/4)=0 …(3)
cos((2x+π)/4)=0 …(4)
(3)
sinθ=0となるθは、0˚=0、180˚=π、360˚=2π、…
(10x-π)/4=0のとき、x=π/10
(10x-π)/4=πのとき、x=π/2
(10x-π)/4=2πのとき、x=9π/10
(4)
cos(θ)=0となるθは、-90˚=-π/2、90˚=π/2、270˚=3π/2、…
(2x+π)/4=-π/2のとき、-3π/2で不適
(2x+π)/4=π/2のとき、x=π/2
(2x+π)/4=3π/2のとき、x=5π/2で不適
∴
x=π/10, π/2, 9π/10
おそらく、高校生レベルであれば、この2通りで過半数くらいになるのではなかろうか。
解法1、解法2、どちらでも良いかとは思うが、今回の場合は解法2かな。
ではでは
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