0～9までの整数があり、それらを5乗した1の位が、元の数と等しい。
0^5=0≡0 (mod 10)
1^5=1≡1 (mod 10)
2^5=32≡2 (mod 10)
3^5=243≡3 (mod 10)
4^5=1024≡4 (mod 10)
5^5=3125≡5 (mod 10)
6^5=7776≡6 (mod 10)
7^5=16807≡7 (mod 10)
8^5=32768≡8 (mod 10)
9^5=59049≡9 (mod 10)
と正しいことが解る。
これを数学的に拡張してみる。
m進数（m>1の整数）において、
n^x≡n (mod m)
0≦n＜mのすべての整数nを満たす、
1＜x≦mの範囲で最小の整数xを見つける。
但し、xが見つからなければ、x=1とする。
という問題における、m=10の場合である。
mは2以上の整数が考えられ、
どこまで試せばよいのだろうか。
手計算でやっているとおっつかないので、プログラミングしてみました。
n^2≡n (mod 2)
n^3≡n (mod 3)
n^1≡n (mod 4)
n^5≡n (mod 5)
n^3≡n (mod 6)
n^7≡n (mod 7)
n^1≡n (mod 8)
n^1≡n (mod 9)
n^5≡n (mod 10)
n^11≡n (mod 11)
n^1≡n (mod 12)
n^13≡n (mod 13)
n^7≡n (mod 14)
n^5≡n (mod 15)
n^1≡n (mod 16)
n^17≡n (mod 17)
n^1≡n (mod 18)
n^19≡n (mod 19)
n^1≡n (mod 20)
n^7≡n (mod 21)
n^11≡n (mod 22)
n^23≡n (mod 23)
n^1≡n (mod 24)
n^1≡n (mod 25)
n^13≡n (mod 26)
n^1≡n (mod 27)
n^1≡n (mod 28)
n^29≡n (mod 29)
n^5≡n (mod 30)
n^31≡n (mod 31)
n^1≡n (mod 32)
n^11≡n (mod 33)
n^17≡n (mod 34)
n^13≡n (mod 35)
n^1≡n (mod 36)
n^37≡n (mod 37)
n^19≡n (mod 38)
n^13≡n (mod 39)
n^1≡n (mod 40)
n^41≡n (mod 41)
n^7≡n (mod 42)
n^43≡n (mod 43)
n^1≡n (mod 44)
n^1≡n (mod 45)
n^23≡n (mod 46)
n^47≡n (mod 47)
n^1≡n (mod 48)
n^1≡n (mod 49)
n^1≡n (mod 50)
n^17≡n (mod 51)
n^1≡n (mod 52)
n^53≡n (mod 53)
n^1≡n (mod 54)
n^21≡n (mod 55)
n^1≡n (mod 56)
n^19≡n (mod 57)
n^29≡n (mod 58)
n^59≡n (mod 59)
n^1≡n (mod 60)
n^61≡n (mod 61)
n^31≡n (mod 62)
n^1≡n (mod 63)
n^1≡n (mod 64)
n^13≡n (mod 65)
n^11≡n (mod 66)
n^67≡n (mod 67)
n^1≡n (mod 68)
n^23≡n (mod 69)
n^13≡n (mod 70)
n^71≡n (mod 71)
n^1≡n (mod 72)
n^73≡n (mod 73)
n^37≡n (mod 74)
n^1≡n (mod 75)
n^1≡n (mod 76)
n^31≡n (mod 77)
n^13≡n (mod 78)
n^79≡n (mod 79)
n^1≡n (mod 80)
n^1≡n (mod 81)
n^41≡n (mod 82)
n^83≡n (mod 83)
n^1≡n (mod 84)
n^17≡n (mod 85)
n^43≡n (mod 86)
n^29≡n (mod 87)
n^1≡n (mod 88)
n^89≡n (mod 89)
n^1≡n (mod 90)
n^13≡n (mod 91)
n^1≡n (mod 92)
n^31≡n (mod 93)
n^47≡n (mod 94)
n^37≡n (mod 95)
n^1≡n (mod 96)
n^97≡n (mod 97)
n^1≡n (mod 98)
n^1≡n (mod 99)
n^1≡n (mod 100)
2≦m≦100を求めてみました。
2以上のxが見つかるケースと見つからないケースがあるが、どんな条件があるのかを考えてください。
また、xが見つかるケースにおいて、いくつかのグループに分類出来るので、どのようなグループを作るのが望ましいのかを考えてください。
私の考えは、翌日にでも書きます。
ではでは